Simplificar $\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k!)}.$

Question

Es allí una manera de simplificar la expresión

$$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n-k)!}?$$

Esto ocurrió cuando yo estaba tratando de determinar $\mathbb{P}(X+Y =r)$ dado un conjunto de masa de probabilidad $$m_{X,Y}(j,k) = \frac{c(j+k)a^{j+k}}{j!k!},$$ where $j$ and $k$ are non-negative integers and $a,c>0$ son constantes.

Answer 1

Sugerencia: Multiplicar la suma por $n!$, y escribir $$\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k}.$$ Ahora intente aplicar el teorema del binomio.