Completar la tabla de Cayley dada cierta información

Question

Pregunta. Dejemos que $G = \{1,2,3,4\}$ . Dado que $(G, \cdot)$ es un grupo con identidad $3$ y que $o(x) = 2$ para cada $x \in G \setminus \{3\}$ , completa la tabla de Cayley.

Estoy tratando de desglosar cada declaración con la esperanza de entender cómo debo rellenar esta tabla Cayley específica.

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" $(G, \cdot)$ es un grupo con identidad $3$ ." esto es bastante básico y lo entiendo. Un grupo es asociativo, tiene identidad ( $3$ ) y las inversas.

" $o(x) = 2$ para cada $x \in G \setminus \{3\}$ ." Esto es decir que cada elemento, excepto ${3}$ tiene un orden de $2$ y esto es lo que provoca la confusión. ¿Está diciendo esto que $x^2 = e$ (la identidad), a excepción de ${3}$ ? Así que $1\cdot1 = 3$ , $2\cdot2 = 3$ , $4\cdot4 = 3$ ? Supongo que $3\cdot3 = 1$ (porque $e\cdot e = e$ )?

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Mi segundo intento gracias a la ayuda de todos:

Gracias.

Answer 1

¡Sí! Este es el grupo Klein. Este grupo tiene las mismas propiedades que $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ . Los números $1,2,3,4$ son representaciones de elementos.

Existen algunos errores en tu tabla de Cayley. En este caso $1 \neq e$ , $3.3 = 3$ porque $3$ es la identidad por definición, por ejemplo. Te sugiero que hagas la tabla en orden $3,1,2,4$ (empezar con la identidad se vuelve más organizado).

Answer 2

Has entendido bien ambas afirmaciones y las conclusiones que has escrito son correctas.

Pero tu tabla de Cayley está mal. Para rellenar correctamente la tabla, necesitas recordar otras propiedades de los grupos. Además, hay un 8 en tu tabla, y el 8 no es un elemento del grupo $G$ .

Una pista: Dejemos que $G$ sea un grupo y $x,y\in G$ . Si $xy=x$ Entonces, ¿qué podemos decir de $y$ ?

En este caso, necesariamente $y=e$ el elemento de identidad. ¿Puedes demostrarlo?

Answer 3

$e=3$ no $e=1$ . Así que su última afirmación es incorrecta. En efecto, $3\cdot 3=3\neq1$ como $e\cdot e=e$ .

Del mismo modo, en su tabla dice $2\cdot 1=2$ y también $2\cdot 3=2$ . Sabes que la segunda identidad es correcta, por lo que la primera no puede serlo por la siguiente razón (recuerda que $2\cdot 2$ es la identidad): $$ \begin{align*} 2\cdot 1&=2\cdot 3\\ \Leftrightarrow 2\cdot2\cdot 1&=2\cdot2\cdot 3\\ \Leftrightarrow 1&=3\ldots\\ \end{align*} $$ ...y sabemos que $1\neq3$ . Más generalmente, todas las filas y columnas de cada tabla de Cayley de cada grupo contienen cada elemento precisamente una vez. ¿Puedes ver el porqué de esto?