Supongamos que $A,B \in \mathbb{R}^{m\times n}$ ¿Cómo puede demostrar lo siguiente?
$A^\mathrm{T}A=B^\mathrm{T}B \Leftrightarrow \exists$ ortogonal $Q$ tal que $A=QB$
¿o hay algún contraejemplo? Intuitivamente tiene sentido para mí, pero todavía no he encontrado una buena prueba. Lo he intentado mediante la SVD, pero la no unicidad de la descomposición da problemas. Estaría encantado de recibir alguna sugerencia.
$\Leftarrow$ es trivial.
para $\implies$ : considere $A = (A_1, \dots A_d)$ como una familia de columnas. Entonces la hipótesis escribe $A_i\cdot A_j = B_i\cdot B_j$ .
Consideremos una subfamilia que genera $\text{span }\{A_k\}$ . Puede encontrar un conjunto $I$ como $\text{span }\{A_k\} = \text{span }\{A_i, i\in I\} $ .
Como para toda matriz $C$ , $\text{rank }C = \text{rank }C^TC$ , se obtiene que $ \{B_i, i\in I\} $ es una base de $\text{span }\{B_k\}$ .
Eventualmente, consideremos el mapa lineal $$ f: \text{span }\{B_k\}\to \text{span }\{A_k\} \\ i\in I \implies f(B_i) = A_i $$
Se trata de una transformación ortogonal y se puede definir de cualquier manera para $R^d$ manteniendo la ortogonalidad. Su matriz $Q$ es como $QB = A$ .
Como preparación para mi examen, abordé el problema de resolver esta vieja (y no del todo resuelta) pregunta y llegué a una buena solución. Espero que la respuesta guste a las personas que han visto el problema :).
Demostremos un teorema más general: Sea $A: V \rightarrow W$ y $B: V \rightarrow W$ sean operadores lineales en espacios de producto interno de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . Entonces se cumple lo siguiente:
$A^{*}A = B^{*}B \Leftrightarrow \exists U: W \rightarrow W$ s.t. $U^*U = I_{W}$ y $UA = B$
Prueba:
$\Leftarrow$ es trivial.
$\Rightarrow$ : Utilizando el teorema de la descomposición polar, sabemos que $A = U_A (A^*A)^\frac{1}{2}$ y $B = U_B(B^*B)^\frac{1}{2}$ , donde ${U_A}^{*}U_A = {U_B}^{*}U_B = I_W$ . Ahora bien, como $B^*B = A^*A$ tenemos $U_B{U_A}^*A = U_B{U_A}^*U_A (A^*A)^\frac{1}{2} = U_B (A^*A)^\frac{1}{2} = U_B (B^*B)^\frac{1}{2} = B$ . Así, por construcción encontramos nuestro deseado $U$ para ser $U = U_B{U_A}^*$ .
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Posiblemente sea útil: Tu afirmación es errónea si sustituimos $\mathbb{R}$ por $\mathbb{C}$ . Por lo tanto, necesitamos algo específico para el hecho de que $\mathbb{R}$ es formalmente real. Eso podría ser el hecho de que $\operatorname{Ker}\left(C^T C\right) = \operatorname{Ker} C$ para cualquier matriz $C$ sobre los reales.
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Sí, ayuda. Este hecho demuestra que $\operatorname{Ker} A = \operatorname{Ker} B$ . Ahora, trabajando con mapas lineales en lugar de matrices, podemos dejar que $P$ sea la proyección canónica de $\mathbb{R}^{n}$ al espacio del cociente $\mathbb{R}^{n} / \operatorname{Ker} A = \mathbb{R}^{n} / \operatorname{Ker} B$ . Entonces, cada uno de $A$ y $B$ factor a través de $P$ es decir, tenemos $A = A'P$ y $B = B'P$ para algunos mapas lineales $A'$ y $B'$ de ese espacio cociente. Estos mapas lineales $A'$ y $B'$ son inyectivas. Ahora, $A^T A = B^T B$ se convierte en $P^T A'^T A' A = P^T B'^T B' P$ .
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De este modo, se obtiene fácilmente $A'^T A' = B'^T B'$ gracias a la subjetividad de $P$ . Lo bueno de los dos mapas $A'$ y $B'$ es que son inyectivas (a diferencia de $A$ y $B$ que puede y no puede ser). Por lo tanto, su pregunta se reduce al caso de ambos $A$ y $B$ siendo inyectiva (porque si $A' = QB'$ entonces claramente $A = A'P = QB'P = QB$ ).
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Ahora, suponiendo que $A$ y $B$ son inyectivas, podemos ver el mapa $B\left(\mathbb{R}^n\right) \to A\left(\mathbb{R}^n\right)$ que envía cada $Bv$ a $Av$ (esto está bien definido, porque $B$ es inyectiva y por lo tanto cada elemento de $B\left(\mathbb{R}^n\right)$ puede escribirse como $Bv$ por exactamente una $v$ ). Este mapa es una isometría (porque comprueba que $\left(Bv, Bv'\right) = \left(Av, Av'\right)$ para cualquier $v$ y $v'$ ). Por el teorema de Witt ( es.wikipedia.org/wiki/Witt%27s_theorem ), esta isometría puede extenderse a una isometría de $\mathbb{R}^m$ a sí mismo. Esta isometría extendida es su $Q$ ¡!
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Espero que alguien con más tiempo a mano pueda gastar algo de él para escribir esto como respuesta, posiblemente evitando la exageración (?) de usar el teorema de Witt. ¡Buena pregunta!