Estoy buscando un ejemplo de una función $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tal que $f \in L^1$ en el sentido de que $\int_{\mathbb R} |f| < \infty$ pero su transformada de Fourier $\hat f$ no $L^1$. ¿Alguien tiene uno?
Gracias.
Respuestas
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Tenga en cuenta que cualquier función cuya transformada de fourier es en $L^1$ debe ser igual a una función continua en casi todas partes, desde la $\mathcal F(\mathcal F(f)) = f$.e. en este caso. Esto se desprende de la inversión de la fórmula y debido a que la transformada de Fourier de una función es continua.
Esto nos da muchos ejemplos de funciones que está buscando. Por ejemplo, $f(x) = \chi_{[-1,1]}(x)$ tiene que ser necesariamente una función.
Robert Christie
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Añadido: La función de $f(x) = \vert x \vert^{-1/2} \mathrm{e}^{-\vert x \vert}$ es un ejemplo sencillo (mucho más sencilla que la original ejemplo propuesto). Su transformada de Fourier es:
$$ \hat{f}(\omega) = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\omega ^2+1}}+\frac{1}{\omega ^2+1}} $$ y tiene asíntota $\hat{f}(\omega) \sim \vert \omega \vert^{-1/2}$ grandes $\vert \omega \vert$, lo $\hat{f} \not\in L^1$.
Ejemplo Original:
Un ejemplo sería $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x^{-1/4} \mathrm{e}^{-x} & x > 0 \\ \vert x \vert^{-1/2} \mathrm{e}^{x} & x < 0 \end{array} \right. $$ Está claro que $\int_\mathbb{R} \vert f(x) \vert \mathrm{d} x < \infty$. La transformada de Fourier $$ \hat{f}(\omega) = \frac{\sqrt{1-i \omega }-\sqrt{1+i \omega }}{ \sqrt{8 (1+\omega ^2)}}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\omega ^2+1}}+\frac{1}{\omega ^2+1}}+\frac{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\sqrt{2 \pi } \, (1-i \omega )^{3/4}} $$ La integral de la $\int_\mathbb{R} \vert \hat{f}(\omega) \vert \mathrm{d} \omega $ diverge porque $\hat{f}(\omega) \sim \vert \omega \vert^{-\frac{1}{2}}$.
