Para resolver la ecuación diferencial ($xy^{3} + x^{2}y^{7}) \frac{dy}{dx} = 1$

Question

La educación a distancia es

($xy^{3} + x^{2}y^{7}) \frac{dy}{dx} = 1$

He probado de todo, como factor de integración,que no es homogéneo y no lineal de la ecuación diferencial..¿Qué se debe hacer ahora?

Answer 1

SUGERENCIA: La ecuación puede ser escrita como:

$$y^3\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x(1+xy^4)}$$

Poner $y^4=t$

Answer 2

Volver a organizar su ecuación diferencial, tenemos $$\frac{dx}{dy}=xy^3+x^2y^7$$ $$\frac{dx}{dy}-xy^3=x^2y^7$$ $$\frac{1}{x^2}\cdot \frac{dx}{dy}-\frac{1}{x}\cdot y^3=y^7$$ $$-\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{x}\right)-y^3\cdot \left(\frac{1}{x}\right) =y^7$$

Poner $u=\frac{1}{x}$

Consigue $$\frac{du}{dy}+uy^3=y^7$$

El factor de integración, viene a ser $e^\frac{y^4}{4}$.

Luego tenemos a $$\frac{d}{dy}\left(ue^\frac{y^4}{4}\right)=y^7e^\frac{y^4}{4}$$

Ahora $$\int y^7e^\frac{y^4}{4} dy = \int y^4 e^\frac{y^4}{4} \cdot y^3 dy$$ $$=\int 4ze^z dz$$ donde $z=\frac{y^4}{4}$.

Puede completar la integración de ahora?