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Question

Deje $m$ ser un número entero, squarefree, $m\neq 1$. Demostrar que $x^3-m$ es irreducible en a $\mathbb{Q}[X]$.

Mis pensamientos: desde $m$ es squarefree, tengo la factorización en primos $m=p_1\cdots p_k$. Deje $p$ ser cualquiera de los números primos dividiendo $m$. A continuación, $p$ divide $m$, $p$ no dividir el coeficiente inicial, $p^2$ no divide $m$. Por lo tanto $x^3-m$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por Eisenstein.

Preguntas:

1) ¿crees que es correcto?

2) ¿hay alguna forma diferente a probar irreductibilidad de este polinomio.

Gracias a todos.

Answer 1

$x^3-m$ es reducible si se tiene un factor de grado 1 fib tiene una raíz iff $m$ es un cubo. En particular, $x^3-m$ es irreductible al $m$ es squarefree.

Answer 2

Desde su polinomio es de grado $3$ se puede decir que es irreducible si no tiene raíces. Aviso que esto no es cierto para los grados más altos de $3$. Por ejemplo, $x^4+1$ no tiene raíces reales, pero es reducible y ha $x^4+1 = (x^2 - \sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)$.

La razón de que esto es cierto para el grado $2$ $3$ polinomios es que si $f$ es irreducible, entonces usted tendrá un primer grado de factor, y cada primer grado del polinomio $ax+b$ tiene una raíz en un campo, es decir,$-b/a$.

Así que usted puede pensar que si $x^3-m$ es reducible, entonces se tendrá una raíz. por lo tanto, si $x=a$ es una raíz de la ecuación, tendremos $m=a^3$, pero significa que los exponentes de los factores primos de a $m$ debe ser divisible por $3$ y esto contradice $m$ squarefree.