Una prueba de: $S^n$ está simplemente conectado cuando $n \geq 2$

Question

Hay un ejercicio de "Kosniowski" sobre una forma de obtener una prueba de la conexión simple de $S^n$ cuando $n \geq 2$ . No puedo entender un punto.

Dejemos que $n \geq 2$ . Debido al hecho de que $S^n$ es conexo, localmente conexo por trayectoria y semilocalizado por trayectoria, existe un recubrimiento universal $p \colon E \to S^n$ . Entonces $E$ está simplemente conectado.

Dejemos que $f$ sea un mapa continuo $D^n \to S^n$ tal que $f(\partial D^n)$ es un singleton (por ejemplo, $f$ podría mapear cada punto de $D^n$ en un punto fijo de $S^n$ ). Por un criterio de elevación, siendo $E$ simplemente conectado, existe un mapa continuo $f' \colon D^n \to E$ tal que $p \circ f' = f$ .

Ahora, supongamos que hay una sección continua de $p$ es decir, un mapa continuo $f'' \colon S^n \to E$ tal que $p \circ f'' = 1_{S^n}$ . Entonces, siendo $\pi_1$ un functor, $\pi_1(p) \circ \pi_1(f'')=1_{\pi_1(S^n)}$ . Observe que $\pi_1(f'')$ mapea todo en el elemento neutro de $\pi_1(E)$ porque $\pi_1(E)$ es el grupo trivial. Entonces $1_{\pi_1(S^n)}$ mapea todo en el elemento neutro de $\pi_1(S^n)$ y esto implica que $\pi_1(S^n)$ es trivial, siendo $1_{S^n}$ inyectiva. Entonces hemos terminado, si tal sección existe.

¿Cómo puedo probar la existencia de tal $f''$ ? En el ejercicio he leído que hay que utilizar $f'$ para definir $f''$ pero no sé cómo.

Answer 1

Dejemos que $f$ sea un mapa continuo $D^n \to S^n$ tal que $f(\partial D^n)$ es un singleton (por ejemplo, $f$ podría mapear cada punto de $D^n$ en un punto fijo de $S^n$ ). Para un criterio de elevación, siendo $E$ simplemente conectado, existe un mapa continuo $f' \colon D^n \to E$ tal que $p \circ f' = f$ .

No es necesario utilizar el hecho de que $E$ simplemente se conecta para demostrar la existencia de dicho mapa $f'$ . Este mapa existe debido a la propiedad de elevación de homotopía de las coberturas, dado que se puede considerar el mapa $f$ como una homotopía entre $f|_{\partial D^n}$ y $f|_{\{0\}}$ , vistos como mapas $S^{n-1}\to S^n$ .

Ahora el punto es que no puedes tomar cualquier $f'$ para lo cual $p \circ f' = f$ . También es necesario que $f'(\partial D^n)$ es un punto único para definir $f''$ más tarde.

La razón por la que existe tal $f'$ es porque la propiedad de elevación de homotopía permite imponer el valor de la elevación en un extremo. Por lo tanto, como $f(\partial D^n)$ es un punto único, se puede levantar la homotopía allí eligiendo un punto arbitrario en $E$ y el ajuste $f'(\partial D^n)=$ ese punto, y luego levantar el resto de la homotopía.

¿Cómo puedo probar la existencia de tal $f''$ ?

Asumo que se sabe que $S^n\setminus \{\text{one point}\}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ y, por lo tanto, a una $n$ -bola de dimensiones.

Una forma de decir esto es considerar el mapa cociente topológico $D^n\to D^n/\sim$ donde los puntos interiores están solos en su clase de equivalencia y todos los puntos límite se identifican entre sí: $D^n/\sim$ es en realidad homeomorfo a $S^n$ .

Ahora toma $f$ para ser el mapa $D^n\to S^n$ inducido por la proyección anterior. El requisito de que $\partial D^n$ debe asignarse a un solo punto se cumple. Dado que $f$ es un homeomorfismo en el interior tiene un inverso $g$ .

Definir $f''=f'\circ g$ en la esfera $S^n\setminus \{\text{one point}\}$ , y establecer $f''(\{\text{that one point}\})$ para que sea igual a $f'(\partial D^n)$ . Aquí es donde se necesita crucialmente $f'(\partial D^n)$ sea un punto, de modo que $f''$ está bien definida y es continua.