Podría alguien ayudar a calcular este límite? Gracias!
Esto es parte de una prueba en el Análisis por E. Lieb. Deje $f$ $g$ ser números reales y $p>1$, mostrar el siguiente límite: $$\lim\limits_{t\to 0}\frac{|f+tg|^{p}-|f|^{p}}{t}=pfg|f|^{p-2}$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si $g=0$, ambos lados están en constante $0$.
Si $g\neq 0$$f=0$, tenemos $$\lim_{t\to 0}\frac{|tg|^p}{t} = |g|^p\lim_{t\to 0}\frac{|t|^p}{t} = 0,$$ desde $p\gt 1$ (es el límite de$|g|t^{p-1}$$t\to 0^+$,$0$$-|g|t^{p-1}$$t\to 0^-$, que también es $0$).
Si $g\neq 0$$f\neq 0$, decir $f\gt 0$. Usando la Regla de L'Hospital tiene $$\begin{align*} \lim_{t\to 0}\frac{|f+tg|^p - |f|^p}{t} &= \lim_{t\to 0}\frac{(f+tg)^p - f^p}{t}\\ &= \lim_{t\to 0}\frac{p(f+tg)^{p-1}g - 0}{1} = pf^{p-1}g = pfgf^{p-2} = pfg|f|^{p-2}. \end{align*}$$
Si $f\lt 0$, luego $$\begin{align*} \lim_{t\to 0}\frac{|f+tg|^p - |f|^p}{t} &= \lim_{t\to 0}\frac{(-f-tg)^p - (-f)^p}{t}\\ &= \lim_{t\to 0}\frac{p(-f-tg)^{p-1}(-g) - 0}{1} \\ &= p(-f)^{p-1}(-g)\\ &= -pg|f|^{p-1}\\ &= p(-|f|)g|f|^{p-2}\\ &= pfg|f|^{p-2}. \end{align*}$$
En cualquiera de los cuatro casos, tenemos la igualdad.
(Como para deshacerse de el valor absoluto de los signos en $|f+tg|$, mientras $f\neq 0$, $f+tg$ tiene el mismo signo de $f$ suficientemente pequeño $t$).
delroh
Puntos
56
El límite dado es fácilmente visto (definición de la derivada de la función $$ t \mapsto |f+gt|^p $$ at $t = 0$. Podemos calcular la derivada usando la regla de la cadena. Este viene a ser $$ p |f+gt|^{p-1} \times \frac{f+gt}{|f+gt|} \times g. $$ Aquí, el primer factor es la derivada de la función $z \mapsto z^p$$|f+gt|$. El segundo factor es la derivada de la función valor absoluto en $f+gt$. Sobre la sustitución de $t=0$, obtenemos el resultado reivindicado.
Para hacer la susodicha prueba a prueba de agua, se observa que el valor absoluto de la función es diferenciable sólo cuando el argumento es distinto de cero; por lo que en el anterior, tenemos que asumir que $f \neq 0$. Se necesita para completar la prueba por analizar el caso de $f=0$ por separado, como en @Arturo Magidin la respuesta.
