Es $|f(b)-f(a)| > |b-a|$ verdadero de esta función?

Question

Me gustaría utilizar esto como parte de una prueba, pero no podía darse cuenta de cómo mostrar este (y si) es verdadera. La función es: $f(x)=x+(1+e^x)^{-1}$

Answer 1

$f $ es diferenciable en a $\mathbb R $, luego por MVT,

$$f (a)-f (b)=(a-b)f'(c) $$

con $a <c <b $.

pero $$f'(c)=1-\frac{e^c}{(1+e^c)^2}=\frac{1+e^c+e^{2c}}{(1+e^c)^2} $$

$$\implies 0 <f'(c)<1$$ por lo tanto $$|f (a)-f (b)|<|a-b|$$

su afirmación no es cierta para $f $.

Answer 2

$$ f'(x) = 1 - \frac{e^x}{(1+e^x)^2}, \text {} f'(0) = \frac 3 4 = 0.75. $$ Desde $f'$ es continua, $f'(x)$ permanece cerca de $0.75$ si $x$ es lo suficientemente cerca como para $0$; por lo tanto, podemos garantizar que el $0.7<f'(x)<0.8$ hacer $x$ lo suficientemente cerca como para $0$.

Así que vamos a $a,b$ ser el número dos que son los que cierran a $0$. Por el valor medio teorema, $$ \frac{f(a)-f(b)}{a-b} = f'(c) \en(0.7,\,0.8) \text{ para algunos } c \text{ entre los } \text{ y } b. $$ Por lo tanto $|f(a)-f(b)|< |a-b|$ si $a,b$ están suficientemente cerca de a $0$.

Answer 3

$\displaystyle f(b)-f(a)=b-a+(\frac{1}{1+e^b}-\frac{1}{1+e^a})=b-a+\frac{e^a-e^b}{(1+e^a)(1+e^b)}=b-a-\frac{e^b-e^a}D$

Tenemos $f(b)-f(a)=(b-a)-C$$\displaystyle C=\frac{e^b-e^a}D,\quad D>0$.

Desde $\exp$ es una función creciente, a continuación, $b>a\implies e^b>e^a$

Por lo $C$ es el mismo signo de $b-a$.

$f(b)-f(a)=b-a-\operatorname{sgn}(b-a)|C|\implies|f(b)-f(a)|\le|b-a|$

---

Sobre tu pregunta sobre el teorema de punto fijo:

Primero un comentario, para aplicar el teorema necesita para demostrar la $f$ k-lipschitzian con $k<1$.

I. e. $|f(b)-f(a)|\le k|b-a|$ es una fuerte restricción de que sólo $|f(b)-f(a)|<|b-a|$$a\neq b$.

Pero en el presente caso, este no es el problema, $f'(x)\to 1$ en el infinito y en cualquier compacto podemos encontrar una $k<1$ tal que $f'(x)\le k$.

Su función no es muy diferente de $g(x)=x+\frac 1x$, que comparte la contracción de la desigualdad (al menos para $x$ lo suficientemente lejos de $0$), pero no tiene un punto fijo.

El problema está en el hecho de que el teorema se requieren $f:X\to X$.

Pero desde $f(x)>x$ todos los $x$ esta condición no se puede cumplir y $f(X)\not\subset X$ al $X$ está acotada.

Si tratamos de cumplir con esta condición, entonces necesitamos para operar en $X=[0,+\infty[$ a expensas de que el punto fijo es rechazado en el infinito. (es decir,$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$).

En conclusión, el cuidado de los requisitos exactos antes de la aplicación de un teorema.

Answer 4

Considere la posibilidad de $a=1, b=0$. $$|f(a) - f(b)| = \left|\left(1+\frac{1}{1+e}\right) - \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{1}{2} + \frac{1}{1+e}\right| < \left|\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right| = 1 = |a-b|$$ Por lo tanto no es cierto.