La ecuación diferencial: $ \arctan (y) = \arctan(x)+C .$

Question

He resuelto la ecuación y me he estancado. Ayuda con la decisión por favor.

$$(1+y^2)\,dx=(1+y^2)\,dy \iff \int \frac{dx}{1+x^2} = \int\frac{dy}{1+y^2} $$

Expresión transformada de la tabla de integrales.

$$ \arctan (y) = \arctan(x)+C $$

Indicar cómo transformar aún más la expresión (encontrar la solución general)

Answer 1

El conjunto diferencial $$ (1+y^{2}) \,dx = (1+x^{2})\, dy $$ puede integrarse como se ve en \begin {align} \int \frac {dy}{1+y^{2}} = \int \frac {dx}{1+x^{2}} \end {align} y lleva a \begin {align} \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(x) + c \end {align} o \begin {align} y = \tan ( \tan ^{-1}(x) + c). \end {align} Ahora usando \begin {align} \tan (a + b) = \frac { \tan (a) + \tan (b)}{1 - \tan (a) \tan (b)} \end {align} el resultado general se convierte en \begin {alinear} y(x) = \frac {x+c_{1}}{1 - c_{1} x} \end {align} desde $\tan(\tan^{-1}(x)) = x$ y $c_{1} = \tan(c)$ es una constante.

Answer 2

Toma la tangente de cada lado de la ecuación $$\tan(\arctan(\theta)) = \theta$$

$$\tan\Big(\arctan(y)\Big) =\tan\Big(\arctan(x) + C\Big) \iff y = \tan\Big(\arctan(x) + C\Big)$$

Como señala Lucian, se puede utilizar la siguiente fórmula de doble ángulo para $\tan$ para ampliar el lado derecho del resultado: $$\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)}$$

Aquí, pon $a = \arctan(x)$ y $b = C$ .

Answer 3

Supongamos que un punto inicial $(x_0,x_0)\in{\mathbb R}^2$ se da. La fórmula $$(1+y^2)\,dx=(1+x^2)\,dy\tag{1}$$ debe interpretarse entonces de la siguiente manera: $x$ y $y$ son funciones de una "variable oculta" $t$ y se nos dice que resolvamos $${\dot x\over 1+x^2}={\dot y\over 1+y^2}\tag{2}$$ con la condición inicial $x(0)=x_0$ , $\>y(0)=y_0$ . Integración de $(2)$ con respecto a $t$ de $t=0$ a $t=T$ da $$\arctan x(T)-\arctan x_0=\arctan y(T)-\arctan y_0\ .$$ Tomando la $\tan$ en ambos lados (nótese que $\tan(\arctan x)\equiv x$ ) obtenemos $${x(T)-x_0\over 1+x(T)x_0}={y(T)-y_0\over 1+y(T)y_0}\ .$$ Esto significa que la curva de solución de $(1)$ a través del punto $(x_0,y_0)$ satisface la ecuación $${x-x_0\over 1+xx_0}={y-y_0\over 1+yy_0}\ ,$$ o $$y={x-{x_0-y_0\over 1+x_0y_0}\over {x_0-y_0\over 1+x_0y_0}x+1}\ .$$