Demostrando una trig suma infinita mediante la integración

Question

¿Cómo puedo probar los siguientes mediante la integración y funciones elementales?

Demostrar que:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\theta)}{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$$

$0 < \theta < 2\pi$

Answer 1

Sea, $$S_1 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n\theta} {n} \\ S_2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n\theta} {n} $$

Entonces $$S_1 + iS_2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\theta}}{n}$ $

Ahora, desde la expansión de Taylor, $\ln (1+x) = x -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} ...$ $$\implies -\ln(1-x) = x+ \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} ... = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ $$ $\begin{align} \therefore S_1+iS_2 &= -\ln(1-e^{i\theta}) \\&=-\ln(1-\cos\theta-i\sin \theta) \\ &=-\ln(2\sin^2\theta/2 - 2i\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)) \\ &=-\ln(2\sin\theta/2)-\ln(\sin\theta/2-i\cos\theta/2) \\ &=-\ln(2\sin\theta/2)+\ln(\sin\theta/2+i\cos\theta/2) \\ &=-\ln(2\sin\theta/2)+\ln(e^{i(\pi/2-\theta/2)}) \\ &=-\ln(2\sin\theta/2)+i(\pi/2-\theta/2) \end {alinee el} $ $

Tomando la parte imaginaria de ambos lados, $$S_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ $

Answer 2

$$ I=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n} $$ Ahora, \begin{align} \frac{dI}{d\theta} &= \sum_{n=1}^\infty \cos(n\theta)\\ \frac{dI}{d\theta}\cos(\theta)&=\sum_{n=1}^\infty \cos(n\theta)\cos(\theta)\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos((n-1)\theta)+\cos((n+1)\theta)}2\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{2}+\sum_{n=2}^\infty\frac{\cos(n\theta)}{2}\\ &=\frac{1}2+\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(n\theta)}{2}-\frac{\cos(\theta)}2\\ &=\frac{1-\cos(\theta)}{2}+\frac{dI}{d\theta}\\ \frac{dI}{d\theta}(\cos(\theta)-1) &= -\frac{\cos(\theta)-1}{2}\\ \frac{dI}{d\theta} &= -\frac12 \end{align} Tomando nota de que $$ I(\pi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\pi)}n = 0 $$ integramos en torno a $\theta=\pi$ para obtener $$ I = -\frac\theta2 + \frac\pi2 = \frac\pi2-\frac\theta2 $$ Tenga en cuenta que esto no es estrictamente requieren que el $\cos$ suma converge, ya que puede alterar el balance del proceso para obtener la convergencia. Lo importante es que los términos pueden ser extraídos para los fines de la integración.

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Hay dos maneras obvias para manejar la nonconvergent la naturaleza de la suma de $\frac{dI}{d\theta}$.

Opción 1: uso $$I = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}n z^n$$ y, a continuación, tomar el límite de $z\to1^{-}$. Para cualquier $|z|<1$, la suma de la derivada se reunirán, y en el límite va a ser $\frac12$.

Opción 2: Cambiar el orden de la suma. Vamos $$ I = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}n \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} $$ que es lo mismo que multiplicar por $1$. Ahora cambiar el orden de la suma de a $n+k=m$ primera, como $$ I = \sum_{m=2}^\infty \sum_{k=1}^{m-1} \frac{\sin((m-k)\theta)}{m-k}2^{-k} $$ Cuando se acumulan en este orden, la derivada converge.

Answer 3

En esta respuesta, voy a mostrar

$$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(2kx)}{k} &=\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{i2kx}-e^{-i2kx}}{2ik}\\ &=\frac1{2i}\left(-\log(1-e^{i2x})+\log(1-e^{-i2x})\right)\\ &=\frac1{2i}\log(-e^{-i2x})\\[4pt] &=\frac\pi2-x\quad\text{for }x\in\left(0,\pi\right) \end{align} $$

que es, en esencia, milind la respuesta. Sin embargo, la pregunta acerca de la integración. Esto suena como si la pregunta le pide a encontrar la Serie de Fourier de $f(\theta)=\frac\pi2-\frac\theta2$. En primer lugar, tenga en cuenta que $f(\theta)$ es impar; es decir, $$ \begin{align} f(2\pi-\theta) &=\frac\pi2-\frac{2\pi-\theta}2\\ &=\frac\theta2-\frac\pi2\\ &=-\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)\\[6pt] &=-f(\theta)\tag{1} \end{align} $$ La ecuación de $(1)$ implica que $$ \begin{align} \color{#00A000}{\int_0^{2\pi}f(\theta)\cos(n\theta)\,\mathrm{d}\theta} &=\int_0^{2\pi}f(2\pi-\theta)\cos(n 2\pi-n\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=-\color{#00A000}{\int_0^{2\pi}f(\theta)\cos(n\theta)\,\mathrm{d}\theta}\\[6pt] &=0\tag{2} \end{align} $$ debido a $\color{#00A000}{x}=-\color{#00A000}{x}\implies\color{#00A000}{x}=0$.

Ahora la pregunta es $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}f(\theta)\sin(n\theta)\,\mathrm{d}\theta &=\int_0^{2\pi}\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)\sin(n\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=-\frac1n\int_0^{2\pi}\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)\,\mathrm{d}\cos(n\theta)\\ &=\left.-\frac1n\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)\cos(n\theta)\right]_0^{2\pi}\\ &\hphantom{=\,}+\frac1n\int_0^{2\pi}\cos(n\theta)\,\mathrm{d}\left(\frac\pi2-\frac\theta2\right)\\[4pt] &=\frac\pi{n}\tag{3} \end{align} $$ $(3)$ dice que la serie de Fourier para $f(\theta)$ $(0,2\pi)$ es $$ f(\theta)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n\theta)}{n}\etiqueta{4} $$