Mostrar que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ converge.

Question

Problema:

Deje $\{a_n\}$ ser una disminución de la secuencia de la no-negativos de los números reales. Supongamos que $$\lim_{n\to \infty} a_n = 0$$ Also, assume that the partial sum sequence $\{B_n\}$ of the series $\sum_{n=1}^\infty b_n$ is bounded. Show that the series $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ converge.

Mi intento:

Para demostrar que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ converge, traté de mostrar que la secuencia de sumas parciales $\{\sum_{i=1}^n a_ib_i\}_{n\in \mathbb{N}}$ converge. Traté de hacer esta demostrando que esta secuencia de sumas parciales es de Cauchy.

Deje $\varepsilon > 0$. Deje $M$ ser el obligado en $\{B_n\}$. Desde $\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n = 0$ tenemos que exista $N\in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n > N$ tenemos $|a_n| < \dfrac{\varepsilon}{2M}$. Deje $m,n > N$. Tenemos que $$\begin{align*} \left|\sum_{i=1}^n a_ib_i - \sum_{i=1}^m a_ib_i\right| &= \left|\sum_{i=1}^N a_i b_i - \sum_{i=N+1}^n a_i b_i -\sum_{i=1}^N a_i b_i + \sum_{i=N+1}^m a_ib_i \right|\\ &=\left| \sum_{i=N+1}^m a_ib_i - \sum_{i=N+1}^n a_i b_i\right|\\ &\leq \left| \sum_{i=N+1}^m a_ib_i\right| + \left|\sum_{i=N+1}^n a_i b_i\right|\\ &\leq \text{ something }\\ &\leq |a_N|M + |a_N|M \\ &<\varepsilon \end{align*}$$

Mi problema es el paso central/s etiquetados "algo". No estoy seguro de cómo se relacionan los obligados $M$$\sum_{i=N+1}^n a_i b_i$. Agradecería cualquier ayuda. Es esta la idea correcta para el problema?

Gracias de antemano!

Answer 1

No hay una fórmula llamada " parcial suma de la fórmula o de Abel transformación, la cual es útil en este caso. Es, básicamente, establece que:

$$\sum_{i=1}^na_nb_n=\sum_{i=1}^{n-1}A_n(b_n-b_{n+1})+A_nb_n$$ donde $$A_n=\sum_{i=1}^na_n$$

Usted tiene $$\lim_{n\to\infty}b_n=0$$ such that $$b_n>b_{n+1},\forall n$$ y que $$|A_n|\le M$$ for some $M\in\mathbb{R}$

Si aplicamos la fórmula de la serie, a continuación, observe que $$A_nb_n\to0$$ Y, usted tiene $$|A_n(b_n-b_{n+1})|\le M(b_n-b_{n+1})$$ por lo que la serie $$\sum_1^\infty A_n(b_n-b_{n+1})$$ es convergente(la serie de términos en el lado derecho de la desigualdad es telescópica,de manera convergente. Por lo tanto la prueba de comparación se utiliza). Su reclamo ahora de la siguiente manera.