Si $[K(\alpha):K]=p\neq q=[K(\beta):K]$ $[K(\alpha+\beta):K]=pq$

Question

Estoy teniendo algunos problemas con el siguiente problema:

Deje $K\subseteq L$ ser campos. Supongamos $\alpha,\beta\in L$ algebraicos son elementos sobre los $K$ de grados $p,q$ respectivamente, donde $p$ $q$ son distintos de los números primos. Mostrar que $\alpha+\beta$ es algebraico sobre $K$ con grado de $pq$.

Me han demostrado que $\alpha+\beta$ es algebraico sobre $K$, pero estoy teniendo problemas para mostrar que el grado es $pq$. Me han demostrado previamente que el $[K(\alpha,\beta):K]=pq$, por lo que he estado tratando de usar este resultado. Pensé que si podía demostrar que $K(\alpha,\beta)=K(\alpha+\beta)$, a continuación, me gustaría hacer. Para mostrar esto me señaló en primer lugar que claramente $K(\alpha+\beta)\subseteq K(\alpha,\beta)$. Entonces tenemos $$pq=[K(\alpha,\beta):K]=[K(\alpha,\beta):K(\alpha+\beta)][K(\alpha+\beta):K]$$ de modo que $[K(\alpha+\beta):K]=1,p,q,pq$. He intentado buscar en los casos cuando es igual a $1,p,q$ y derivar una contradicción, pero no han tenido éxito.

Otra forma de pensamiento de la solución de esto es mostrar que $\alpha,\beta\in K(\alpha+\beta)$,, lo que me permite concluir que $K(\alpha+\beta)=K(\alpha,\beta)$, pero no estoy seguro de cómo completar este bien.

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Estoy buscando un poco de ayuda para mostrar que $[K(\alpha+\beta):K]\neq 1,p,q$, o que $\alpha,\beta\in K(\alpha,\beta)$. Si usted tiene cualquier otras soluciones a este problema, me gustaría ver esos también.

Answer 1

Como se ha señalado en mi comentario anterior, esto no es en general. Voy a ofrecer una solución para la característica $0$ de los casos. Suponga $p<q$.

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Deje $K_1$ ser el cierre de Galois $K(\alpha)/K$, $K_2$ ser la Galois cierre de $K(\beta)/K$. Denotar $\beta:= \beta_0, \beta_1, \cdots, \beta_{q-1}$ todos los conjugados de la $\beta$$K$. Becuase $|\text{Gal}(K_2/ K)|$ es divisible por $q$ existe $\sigma\in \text{Gal}(K_2/ K)$ que es una permutación cíclica. Deje $\sigma(\beta_0) = \beta_1 , \sigma(\beta_1) = \beta_2 , \cdots, \sigma(\beta_{q-1}) = \beta_0$. Desde la extensión de $K_1K_2/K_2$ es normal, podemos extender $\sigma$ a un elemento en $G:= \text{Gal}(K_1K_2/ K)$. El número de $[K(\alpha+\beta):K]$ es el tamaño de la órbita de $\alpha+\beta_0$ bajo $G$.

Ahora, tenga en cuenta los números $$\alpha,\sigma(\alpha), \cdots, \sigma^{q-1}(\alpha)$$ son raíces del polinomio mínimo de a$\alpha$$K$, ya que el $p<q$, dos de ellos deben de coincidir, así que tenemos un entero $1\leq k \leq q-1$ tal que $\alpha = \sigma^k (\alpha)$. Ahora aplicamos $\sigma^k$ $\alpha + \beta_0$sucessively: $$\alpha + \beta_0 \mapsto \alpha + \beta_k \mapsto \alpha + \beta_{2k} \mapsto \cdots \mapsto \alpha + \beta_{(q-1)k} $$ donde los subíndices deben interpretarse modulo $q$. Desde $(k,q) = 1$, vemos que todos los $\alpha + \beta_0 , \cdots ,\alpha + \beta_{q-1}$ están en la órbita, y son todos distintos. Por lo tanto $[K(\alpha+\beta):K] \geq q$

Si $[K(\alpha+\beta):K] = q$, $\alpha + \beta_0 , \cdots ,\alpha + \beta_{q-1}$ son todas las raíces del polinomio mínimo de a$\alpha + \beta$$K$, por lo tanto $$(\alpha + \beta_0) + (\alpha + \beta_1) + \cdots + (\alpha + \beta_{q-1}) \in K \implies q\alpha \in K$$ desde $K$ tiene características de las $0$,$\alpha \in K$, contradicción. Por lo tanto,$[K(\alpha+\beta):K] = pq$, la prueba se ha completado.