¿Es $\dot u/\dot \phi$ lo mismo que $\mathrm du / \mathrm d\phi$?

Question

Tengo dos funciones $u$ y $\phi$ dadas. No estoy seguro de en qué dependen, pero creo que es una variable común $\tau$. Entonces $u(\tau)$ y $\phi(\tau)$. Luego $\dot u$ es la derivada de $u$ con respecto a $\tau.

La derivación de un problema funciona si $$\frac{\dot u}{\dot \phi} = \frac{\mathrm du}{\mathrm d\phi}.$$

¿Es esto legítimo? Dentro de la termodinámica, donde se cumple una ecuación de estado como $f(u, \phi) = 0$, aprendí que el recíproco de una derivada es la derivada en sentido contrario, lo que permite "cancelar reglas de cadena". No estoy seguro de si esto también se cumpliría aquí.

---

Esto es probablemente solo un duplicado de cómo calcular $\frac{d\dot{x}}{dx}$? ¿Puedo simplemente cancelar el $\mathrm d\tau$?

Answer 1

Formalmente, sí, puedes simplemente cancelar el $d\tau$.

Creo que se puede ser más preciso, aunque la notación es un poco incómoda: si $\frac{d\phi}{d\tau}$ es distinto de cero, entonces el teorema de la función inversa dice que podemos ver $\tau$ como una función de $\phi$, $\tau(\phi)$, y $\frac{d\tau}{d\phi} = \frac{1}{\frac{d\phi}{d\tau}}$. Entonces podemos ver a $u$ como una función de $\phi$: $u = u(\tau) = u(\tau(\phi))$. Por la regla de la cadena, $\frac{du}{d\phi} = \frac{du}{d\tau} \frac{d\tau}{d\phi} = \frac{du}{d\tau} \frac{1}{\frac{d\phi}{d\tau}}.

Answer 2

$$\frac{\dot u}{\dot \phi}=\frac{\left[\frac{du}{d\tau}\right]}{\left[\frac{d\phi}{d\tau}\right]}=\underbrace{\frac{du}{d\tau}\times \frac{d\tau}{d\phi}=\frac{du}{d\phi}}_{\text{por la regla de la cadena}},$$

así que estás en lo correcto (siempre y cuando $\frac{d\phi}{dt}\neq 0$).

Nota que $\frac{du}{d\tau}$ no es una fracción, sin embargo, para todos los propósitos (en términos de "cancelar" los términos $d\tau$), uno puede tratarlo como una fracción en este caso.