El límite de $ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \exp(-1+\exp(-2+\exp(-3+\ldots\exp(-n)...)))$.

Question

¿Existe el siguiente límite?

$$\lim_{n\to\infty} \exp(-1+\exp(-2+\exp(-3+\ldots\exp(-n)...)))$$

¿En caso afirmativo, se puede se expresa en una forma cerrada?

PARI muestra el siguiente valor numérico:

n=-100;x=exp(n);while(n<-1,n=n+1;x=exp(x+n));print(x)

$0.4241685586940448516119410516$

Dentro de esta precisión, $-200$ rinde el mismo valor.

Answer 1

El límite existe ya que la secuencia es monótona y acotada, aunque no sé todavía lo que el límite es. Vamos a denotar esta secuencia $E_n$.

La secuencia es monotónica porque $-n+\exp(-(n+1))>-n$, por lo tanto $\exp(-n)+\exp(-(n+1)))>\exp(-n)$, por lo tanto $\exp(-(n-1)+\exp(-n)+\exp(-(n+1))))>\exp(-(n-1)+\exp(-n))$, etc., hasta llegar a $E_{n+1}>E_n$.

La secuencia es limitada porque $-n+\exp(\text{negative number})<0$, por lo tanto $E_n<\exp(0)=1$.

Convergencia monótona teorema $E_n$ converge.