Probabilidad de obtener exactamente 3 sombreros rojos o 3 azul sombreros

Question

Un cajón contiene $4$ sombreros rojos y $4$ azul sombreros. ¿Cuál es la probabilidad de de conseguir exactamente $3$ sombreros rojos o $3$ azul sombreros cuando se toma a $4$ sombreros al azar de la unidad y de inmediato volviendo cada sombrero el cajón antes de tomar la siguiente?

Cuando vengo a través de la pregunta (vi esta pregunta dos veces en una semana), he tratado de resolver de esta manera-

probabilidad de obtener exactamente $3$ sombreros rojos es

$$\frac{{4\choose 3}{4\choose 1}}{{8\choose 4}} = \frac{16}{70}$$

probabilidad de obtener exactamente $3$ azul sombreros

$$\frac{{4\choose 3}{4\choose 1}}{{8\choose 4}} = \frac{16}{70}$$

Así, P(exactamente $3$ rojo o exactamente $3$ azul ) = $\frac{32}{70}$

Pero la respuesta de este problema es $\frac{1}{2}$. ¿Cuál es mi error?

Answer 1

Ya que los sombreros están siendo reemplazados después de cada sorteo, la probabilidad de sacar un sombrero rojo es $4/8$ en cada sorteo, y la probabilidad de tirar un sombrero azul también es $4/8$. Hay ${4\choose 3}$ maneras de tirar de 3 sombreros rojos en 4 empates, por lo que la probabilidad de elegir exactamente 3 sombreros rojos es \begin{equation} {4\choose 3}\left(\frac{4}{8}\right)^3\left(\frac{4}{8}\right)^1 = \frac{4!}{3!1!}\frac{1}{16} = \frac{1}{4}. \end{equation} Del mismo modo, la probabilidad de sacar exactamente 3 azul sombreros es $1/4$, por lo que la probabilidad de sacar exactamente 3 sombreros rojos o exactamente 3 azul sombreros es la suma, $1/2$.

Su estrategia fue mal porque las fórmulas que se están utilizando son de dibujo sin reemplazo.