¿Cuál es el ámbito de definición de la solución de DE?

Question

Tenemos la siguiente Ecuación Diferencial con la condición inicial

$$ \frac{dy}{dt}=\frac{1}{(y+1)(y-2)},~~ y(0)=0$$

Separando las variables he obtenido la solución general de la siguiente manera
$$ \frac{1}{3}y^3-\frac{1}{2}y^2-2y=t+C_1 \implies 2y^3-3y^2 -12y=6t+6C_1$$
(1) ¿Qué es un dominio de definición?
(2) ¿Y cuál sería el ámbito de definición de la solución?

Answer 1

No veo la diferencia entre "dominio de definición" y "dominio de definición para la solución".

El hecho de que el denominador esté factorizado nos da una pista.

Hay un teorema que dice: Si $\frac{dy}{dt} = f(t, y)$ , $y(t_0) = y_0$ donde ambos $f$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en algún rectángulo abierto $(a, b) \times (c, d)$ que contiene el punto $(t_0, y_0)$ entonces existe una solución única al IVP para algún intervalo de $t$ -valores, $(t - \epsilon, t + \epsilon) \subseteq (a, b)$ .

Ahora bien, esto implica que sólo podemos esperar una solución a su EDO en algún lugar dentro de la franja infinita definida por $-1 < y < 2$ , $t \in \mathbb{R}$ . Si la curva de solución se sale de esta franja, entonces todo está perdido. En la práctica, hay que encontrar las restricciones adecuadas para $t$ basada en la solución del PIV (si se puede encontrar una). Afortunadamente, tu EDO era separable, por lo que basta con introducir $y = -1$ y $y = 2$ dará el $t$ -límites. (Por cierto, se puede determinar $C_1$ ya que se da un valor inicial). Es útil representar gráficamente tu solución... Gráfico $t = y^3/3 - y^2/2 - 2y$ y piensa en "funciones inversas".

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

Conectando $y(0)=0$ ves que $C_1=0$ . Todavía tienes que resolver la ecuación para $y$ si desea escribir $y$ en función de $t$ pero esto no parece fácil. A partir de la ecuación diferencial se ve que la derivada explota en $y=-1$ y $y=2$ . Introduciendo esto en la ecuación obtenida vemos que esto ocurre en $t=7/6$ y $t=-10/3$ . El ámbito de definición es $(-10/3,7/6)$

Answer 3

La ecuación diferencial $$y'=\frac1{(y+1)(y-2)}$$ relaciona la función $y$ a su derivado $y'.$ Con la condición inicial $y(0)=0,$ la ecuación implica $$y'(0)=\frac1{[y(0)+1][y(0)-2]}=-\frac12,$$ lo que significa que el dominio de $y$ debe ser un intervalo abierto que contenga $0.$ La ecuación es equivalente a $$(y+1)(y-2)y'=(y^2-y-2)y'=1,$$ y en un intervalo abierto que contenga $0,$ equivale a $$\left(\frac{y^3}3-\frac{y^2}2-2y\right)'=1.$$ Según el teorema fundamental del cálculo, $$\frac{y(t)^3}3-\frac{y(t)^2}2-2y(t)=t,$$ desde $y(0)=0.$ Sea $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ se define por $$F(x)=\frac{x^3}3-\frac{x^2}2-2x,$$ de ahí $$F[y(t)]=t.$$ Obsérvese que la ecuación diferencial, junto con la condición inicial, constriñen a $y(t)\in(-1,2).$ Por lo tanto, el dominio de solución debe ser la imagen de $(-1,2)$ en $F.$ Para encontrarlo, observe que los puntos estacionarios de $F$ son $-1$ y $2,$ y así $$F(-1)=-\frac13-\frac12+2=\frac76$$ y $$F(2)=\frac83-2-4=-\frac{10}3,$$ por lo que el dominio de solución es $\left(-\frac{10}3,\frac76\right),$ con $$y(t)=F^{-1}(t),$$ señalando que $F^{-1}$ está bien definido cuando $F$ se limita a $(-1,2).$

Encontrar una expresión explícita para $F^{-1}$ en términos de expresiones radicales es posible utilizando el método de Cardano, pero esto es tedioso, y por lo tanto, no lo haré aquí.