Integral de dominio de la orden de 4

Question

Demostrar que no hay ningún integral dominio de orden 4.

Nota: Tratando con una contradicción.Pero sin ningún resultado!

Answer 1

Eso es porque la afirmación es falsa; es una parte integral de dominio de la orden de $4$, es decir, $$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})[x]/(x^2+x+1).$$ Este es el único (hasta el isomorfismo). Más en general, para un número natural $n$, no es una parte integral de dominio con $n$ elementos si y sólo si $n$ es una fuente primaria de energía. Esto se discute en una mayor respuesta de la mina.

Answer 2

Las respuestas por Zev y T. Bongers son excelentes, pero permítanme señalar:

Ejercicio 1: Probar que un número finito de la integral de dominio es un campo.

Ejercicio 2: Probar que cada campo finito tiene la primera energía de la orden.

Ejercicio 3: Demostrar que existe un campo de todos los posibles primer poder de la orden. (Zev se ha ligado a otro de sus excelentes respuestas, tiene una mirada.)

Así que, si me dan un número y me puede decir si es o no es una fuente primaria de energía, entonces me puede decir si hay o no un integrante del dominio de ese orden!

Espero que esto ayude!