Es allí una manera de calcular este Producto como una función de la $n$?
$$\prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i^{\frac{1}{p_i-1}}$$
donde $p_i$ $i^{\text{th}}$ primer número y $\pi(n)$ es la principal función de recuento;
Gracias.
Respuesta
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Desde el Primer Número Teorema, tenemos $$\sum_{p\leq n}\log\left(p\right)\sim n$$ así, tomando registro de este producto y por parciales de suma tenemos, como $n\rightarrow\infty$ $$\log\left(\underset{p\leq n}{\prod}p^{\frac{1}{p-1}}\right)=\sum_{p\leq n}\frac{\log\left(p\right)}{p-1}\sim\frac{n}{n-1}+\int_{2}^{n}\frac{t}{\left(t-1\right)^{2}}dt\sim\log\left(n\right)$$ o, si se prefiere, en la asintótica $$\sum_{p\leq n}\frac{\log\left(p\right)}{p}\sim\log\left(n\right)$$ sigue por el teorema de Mertens (http://en.wikipedia.org/wiki/Mertens%27_theorems). Por lo $$\underset{p\leq n}{\prod}p^{\frac{1}{p-1}}\sim n$$ como $n\rightarrow\infty$. Otro (similar) fue observar que$$\frac{\log\left(p\right)}{p-1}=\frac{\log\left(p\right)}{p}+O\left(\frac{1}{p^{\alpha}}\right)$$ con $1<\alpha<2$ por lo$$\sum_{p\leq n}\frac{\log\left(p\right)}{p-1}=\sum_{p\leq n}\frac{\log\left(p\right)}{p}+O\left(1\right)$$ y usando el teorema de Mertens, que los estados, como $n\rightarrow\infty$ $$\sum_{p\leq n}\frac{\log\left(p\right)}{p}=\log\left(n\right)+O\left(1\right)$$ tenemos el mismo resultado.
