Si g y h de acuerdo sobre un conjunto de ellos de acuerdo a su cierre?

Question

Deje $X, Y$ ser espacios topológicos. Deje $A \subset X$. Deje $f : A → Y$ ser un mapa continuo. Se supone que hay existe una función continua $g : cl(A) → Y$ tal que $g|A = f$.

(a) Deje $h : cl(A) → Y$ ser otro mapa continuo tal que $h|A = f$ . Es $h = g$ siempre?

(b) Suponga que en la parte (a), además, se nos da ese $Y$ es de Hausdorff. A continuación, se $h = g$?

Yo lo he solucionado (b) (a) parece demasiado difícil. Traté de dar un contraejemplo a la Topología de Zariski, pero no puede.

Answer 1

Deje $X=Y=\{a,b\}$ con el T$_0$ topología $\{\emptyset,X,\{a\}\}$. Definir $g(x)=x$$h(x)=a$. Las funciones son continuas, y están de acuerdo en el conjunto abierto $A=\{a\}$, pero ellos no están de acuerdo en $\bar A=X$.

Aquí es un T$_1$ ejemplo. Deje $A$ ser un countably conjunto infinito. Deje $p,q$ dos puntos distintos no en $A$. Deje $Y=A\cup\{p,q\}$ con la topología $$\tau=\{U\subseteq Y:\text{ either }U\subseteq A\text{ or else }A\setminus U\text{ is finite}\}.$$ A continuación, $Y$ T$_1$ espacio, pero no es Hausdorff, y $A$ es un abierto denso subconjunto de $X$. Deje $X=Y\setminus\{q\}$ con la topología de subespacio; $X$ es un compacto metrizable espacio, y $A$ es denso en $X$. Deje $g:X\to Y$ ser la inclusión del mapa de $g(x)=x$. Deje $h:X\to Y$ ser el mismo, salvo que $h(p)=q$. A continuación, $g$ $h$ son continuos los mapas que están de acuerdo sobre el conjunto de $A$, pero no en su cierre.