dura integral involucrando la integral de coseno

Question

Corrí a través de una integral en un alemán sitio de matemáticas que tiene un amigo mío y estoy bastante atascado.

Dan, sin derivación,

$$\int_0^\infty \mathrm{Ci}(\alpha x)\mathrm{Ci}(\beta x)dx=\frac{\pi}{2 \max(\alpha,\beta)}$$

El Coseno Integral se define como el $\displaystyle \mathrm{Ci}(x)=-\int_x^\infty\frac{\cos(t)}{t}dt$

¿Alguien sabe cómo se obtiene?. Hemos miró a su alrededor, pero no puede encontrar nada.

Corrí a través de Maple utilizando valores específicos para $\alpha$$\beta$.

Por ejemplo, yo solía $\alpha=2, \;\ \beta=3$ y dio a $\dfrac{\pi}{6}$. Que de hecho se refiere a la fórmula. El máximo de $\alpha$ $\beta$ en este caso es $\beta=3$.

Por eso, $\dfrac{\pi}{2\cdot 3}=\dfrac{\pi}{6}$.

¿Alguien sabe de esta integral o su derivación?. Muchas gracias.

Si alguien está interesado, aquí está un enlace a la página:

http://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Bestimmte_Integrale:_Form_R%28x Ci%29

Answer 1

Podemos escribir su integral como

$$I=\int_0^\infty \int_{\alpha x}^\infty \int_{\beta x}^\infty \frac{\cos u \cos v}{uv } du\: dv\: dx,$$

o, lo que es lo mismo,

$$\int_0^\infty \int_{x}^\infty \int_{x}^\infty \frac{\cos \beta u \cos \alpha v}{uv } du\: dv\: dx.$$

Ahora la región de integración es $$\{(x,u,v): x<u, x<v\}$$

que, para un conjunto de medida cero, podemos escribir como distinto de la unión de las regiones $$\{(x,u,v): x<u<v\}$$ and $$\{(x,u,v): x<v<u\}.$$

Ahora, por ejemplo, para la segunda región que hemos

$$\int_0^\infty \int_{x}^\infty \int_{v}^\infty \square\: du\: dv\: dx = \int_0^\infty \int_{0}^u \int_{0}^v \square\: dx\: dv\: du $$

y para nosotros, esto da

$$ \int_0^\infty \int_{0}^u \int_{0}^v \frac{\cos \beta u \cos \alpha v}{uv } dx\: dv\: du = \int_0^\infty \int_{0}^u \frac{\cos \beta u \cos \alpha v}{u } dv\: du = \int_0^\infty \frac{\cos \beta u \sin \alpha u}{\alpha u } du$$

Cambiar los roles de $u$, $v$, y los roles de las $\alpha$$\beta$, y la adición de la resultante de dos integrales, obtenemos que

$$I(\alpha, \beta)=\int_0^\infty \frac{\beta \cos \beta t \sin \alpha t + \alpha \sin \beta t \cos \alpha t}{\alpha \beta t } dt.$$

Alguien puede ser capaz de tomar de allí. El parecido con la integral del seno me sugiere que la adaptación de uno de los métodos utilizados para evaluar $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt$ puede trabajar.

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Edit: gracias a Didier Piau, aquí es el paso final de la solución (cita directa de su post)

A partir de la penúltima expresión en Bruno la solución, es decir, $$I(\alpha, \beta)=\int_0^\infty \frac{\beta \cos \beta t \sin \alpha t + \alpha \sin \beta t \cos \alpha t}{\alpha \beta t } \mathrm dt,$$ vamos a utilizar las relaciones trigonométricas $$ 2\cos \beta t \sin \alpha t =\sin(\alpha+\beta)t+\sin(\alpha\beta)t,\quad 2\sin \beta t \cos \alpha t =\sin(\alpha+\beta)t+\sin(\beta\alpha)t, $$ y el hecho de que para cada $\gamma\ne0$, el cambio de las variables de $t\to\gamma t$ rendimientos $$ \int_0^\infty \frac{\sin \gamma t}{t} \mathrm dt=\text{sgn}(\gamma)\int_0^\infty \frac{\sen t}{t} \mathrm dt=\text{sgn}(\gamma)\frac{\pi}2, $$ donde $\text{sgn}(\gamma)$ $+1$ si $\gamma\gt0$, $-1$ si $\gamma\lt0$, e $0$ si $\gamma=0$. Este rendimientos $$ I(\alpha,\beta)=\frac\pi{4\alpha}(1+\text{sgn}(\alpha-\beta))+\frac\pi{4\beta}(1+\text{sgn}(\beta-\alpha)). $$ Esta expresión es simétrica en $(\alpha,\beta)$, como debe ser. Si $\alpha\gt\beta$, el segundo término es cero y la primera es $\pi/(2\alpha)=\pi/(2\max(\alpha,\beta))$. Por último, si $\alpha=\beta$, ambos términos son $\pi/(4\alpha)=\pi/(4\beta)$ por lo tanto la suma es $\pi/(2\alpha)=\pi/(2\beta)$. Esto demuestra la fórmula deseada.

Answer 2

Suponiendo que $\alpha,\beta>0$, $$ \begin{align} &\int_0^\infty\int_{\alpha x}^\infty\int_{\beta x}^\infty\frac{\cos(t)}{t}\frac{\cos(s)}{s}\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}x\tag{1}\\ &=\int_0^\infty\int_x^\infty\int_x^\infty\frac{\cos(\alpha t)}{t}\frac{\cos(\beta s)}{s}\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}x\tag{2}\\ &=\int_0^\infty\int_0^t\int_{x}^\infty\frac{\cos(\alpha t)}{t}\frac{\cos(\beta s)}{s}\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}t\tag{3}\\ &=\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^{\min(s,t)}\frac{\cos(\alpha t)}{t}\frac{\cos(\beta s)}{s}\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t\tag{4}\\ &=\int_0^\infty\int_0^\infty\min(s,t)\frac{\cos(\alpha t)}{t}\frac{\cos(\beta s)}{s}\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t\tag{5}\\ &=\int_0^\infty\int_0^ts\frac{\cos(\alpha t)}{t}\frac{\cos(\beta s)}{s}\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t+\int_0^\infty\int_t^\infty t\frac{\cos(\alpha t)}{t}\frac{\cos(\beta s)}{s}\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t\tag{6}\\ &=\int_0^\infty\int_0^ts\frac{\cos(\alpha t)}{t}\frac{\cos(\beta s)}{s}\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t+\int_0^\infty\int_0^s t\frac{\cos(\alpha t)}{t}\frac{\cos(\beta s)}{s}\;\mathrm{d}t\;\mathrm{d}s\tag{7}\\ &=\int_0^\infty\int_0^ts\frac{\cos(\alpha t)\cos(\beta s)+\cos(\beta t)\cos(\alpha s)}{ts}\;\mathrm{d}s\;\mathrm{d}t\tag{8}\\ &=\int_0^\infty\frac{\cos(\alpha t)\sin(\beta t)/\beta+\cos(\beta t)\sin(\alpha t)/\alpha}{t}\;\mathrm{d}t\tag{9}\\ &=\int_0^\infty\frac{(\sin((\beta{+}\alpha)t)+\sin((\beta{-}\alpha)t))/\beta+(\sin((\alpha{+}\beta)t)+\sin((\alpha{-}\beta)t))/\alpha}{2t}\;\mathrm{d}t\tag{10}\\ &=\frac{\pi}{2}\left(\frac{1+\operatorname{signum}(\beta{-}\alpha)}{2\beta}+\frac{1+\operatorname{signum}(\alpha{-}\beta)}{2\alpha}\right)\tag{11}\\ &=\frac{\pi}{2}\frac{1}{\max(\alpha,\beta)}\tag{12} \end {Alinee el} $$ $(2)$ es un cambio de variables.
$(3)$ $(4)$ son cambios de orden de integración.
$(5)$ es integración en $x$.
$(6)$ divide el dominio donde $s<t$ y $s>t$.
$(7)$ es un cambio de orden de integración en la segunda integral.
$(8)$ es un cambio de variables en la segunda integral.
$(9)$ es integración en $s$.
$(10)$ es la identidad trig: $2\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)+\sin(x-y)$.
$(11)$ is $\int_0^\infty\frac{\sin(\alpha t)}{t}\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}\operatorname{signum}(\alpha)$.
$(12)$ sólo está reescribiendo.