Prueba a motivar la necesidad de medir teórico de la probabilidad

Question

Im usando Billingsley de la Probabilidad y Medida. En la conferencia del instructor de la motivación de la necesidad de la teoría de la medida de la probabilidad por ofrecer una solución al siguiente problema:

Muestran que una discreta de probabilidad de que el espacio no puede contener una secuencia infinita $A_1, A_2,...$ de eventos independientes, cada uno de probabilidad $\frac{1}{2}$. Este es el ejercicio 1.1 en el texto.

Mi pensamiento es que dicha secuencia puede ser interpretado como una diádica de expansión de algún número real en la unidad de intervalo, por lo tanto la probabilidad de espacio debe ser inexplicablemente infinito. Por supuesto, esto no es rigurosa y, a diferencia del enfoque sugerido por el autor. El problema de las notas de dar el siguiente consejo:

"Cada punto se encuentra en uno de los cuatro conjuntos $A_1 \cap A_2$, $A_1^c \cap A_2$, $A_1 \cap A_2^c$, $A_1^c \cap A_2^c$ y por lo tanto se tiene la probabilidad en la mayoría de los $2^{-2}$; continuar."

No estoy seguro de ver a dónde va con esto. Por supuesto, como la secuencia infinito, la probabilidad de cualquier conjunto va a cero, ¿pero cómo es esto prueba de que el espacio no puede ser discretos?

Answer 1

Deje $x$ ser un elemento de la probabilidad de espacio $X$. Deje $p$ la probabilidad de que el evento $\{x\}$. Considere la posibilidad de la $2^n$ pares distintos conjuntos de la forma $A_1^{\varepsilon_1}\cap\dots\cap A_n^{\varepsilon_n}$ donde para cada $i\in\{1,\dots,n\}$, $\varepsilon_i\in\{0,1\}$, $A_i^0=A$ y $A^1_i=X\setminus A$. Cada uno de estos conjuntos tiene probabilidad de $2^{-n}$ $x$ es un elemento de uno de ellos. De ello se desprende que $p\leq 2^{-n}$. Ya que esto tiene para cada $n$, $p=0$. Así que cada singleton en su espacio de probabilidad $0$ y, por tanto, el espacio no es discreto.