Si $\langle Tv,v\rangle\in\mathbb{R}$, demuestran que, a $T$ es auto-adjunto

Question

Deje $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, junto con un Hermitian producto interior $\langle\cdot\,,\cdot\rangle$. Deje $T:V\to V$ ser una función lineal. Demostrar que $T$ es auto-adjunto si $\langle Tv,v\rangle\in\mathbb{R}$.

Yo sé que desde $\langle Tv, v\rangle \in\mathbb{R}$, $\langle Tv,v\rangle=\langle v, Tv\rangle $ ... no estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Answer 1

Deje $S$ ser un operador lineal en el complejo interior-espacio del producto $V$. En primer lugar demostrar que si $\langle Sv, v \rangle = 0$ todos los $v \in V$,$S = 0$. Para todos los $u, w \in V$, tenemos la identidad: \begin{align} \langle Su, w \rangle &= \frac{\langle S(u + w), u + w \rangle - \langle S(u - w), u - w \rangle}{4} \\ &+ \frac{\langle S(u + iw), u + iw\rangle - \langle S(u - iw), u - iw\rangle}{4} i \end{align}

Esta identidad puede ser verificado por cálculo directo. Si $\langle Sv, v \rangle = 0$ todos los $v \in V$, entonces el lado derecho es $0$. En el lado izquierdo, coloque $w = Su$ conseguir $\|Su\| = 0$ todos los $u \in V$. Por lo tanto $S = 0$.

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Ahora, vamos a $T$ ser un operador lineal en el complejo interior-espacio del producto $V$. Para cada $v \in V$:

\begin{align} \langle Tv, v \rangle - \overline{\langle Tv, v \rangle} &= \langle Tv, v \rangle - \langle v, Tv \rangle \\ &= \langle Tv, v \rangle - \langle T^* v, v \rangle \\ &= \langle (T - T^*)v, v \rangle \end{align}

Por lo tanto, $\langle Tv, v \rangle \in \mathbb R$ si y sólo si $\langle (T - T^*)v, v \rangle = 0$ todos los $v \in V$. Pero por la primera parte de esta respuesta, esto ocurre si y sólo si $T - T^* = 0$, si y sólo si $T$ es auto-adjunto.