Es un producto escalar entre dos independientes de la multivariante aleatoria Gaussiana variables variable aleatoria Gaussiana?

Question

Deje $x, z \sim N(0,I_p)$ dos independientes de la multivariante aleatoria Gaussiana variables. La pregunta es si el producto escalar de a $x'z$ es una variable de distribución Gaussiana.

Mi conjetura es que no lo es. Sin embargo, no puedo encontrar lo que está mal con el siguiente argumento. Considerar la distribución conjunta de $(x'z, z)$. Podemos escribir $p(x'z,z) = p(x'z|z)p(z)$. Desde condicionalmente $x'z|z$ es una Gaussiana y $z$ es Gaussiano, el producto de dos Gaussianas es una densidad de un multivariante de Gauss variable. Por lo tanto, $(x'z, z)$ son conjuntamente Gaussiana, lo que implica que marginalmente $x'z$ es también una variable Gaussiana.

Answer 1

La elaboración de alex.la respuesta de jordan. Considere el caso unidimensional, donde $X$ $Z$ son independientes ${\rm N}(0,1)$ variables. A continuación, $$ p_{XZ,Z} (xz,z) = p_{XZ|Z} (xz|z)p_Z (z). $$ Ahora, condicionalmente en $Z=z$, $XZ$ se distribuye normalmente con una media de $0$ y la varianza ${\rm Var}(Xz)=z^2$. Por lo tanto, $$ p_{XZ|Z} (xz|z) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi z^2 } }}\exp \bigg[ - \frac{{(xz)^2 }}{{2z^2 }}\bigg] = \frac{1}{{\sqrt {2\pi z^2 } }}e^{ - x^2 /2} , $$ y, a su vez, $$ p_{XZ,Z} (xz,z) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi z^2 } }}e^{ - x^2 /2} \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}e^{ - z^2 /2} = \frac{1}{{2\pi |z|}}e^ { - x^2 + z^2 )/2} , $$ que no es Gaussiana debido a la $|z|$ en el denominador.

Answer 2

$p(z)$ puede ser de Gauss. Entonces para cualquier particular $z$, $p(x'z|z)$ será de Gauss. Pero la variación en $p(x'z|z)$ serán diferentes con diferentes valores de $z$. Y eso es lo $p(x'z,z)$ va a terminar no siendo multivariante de Gauss, a pesar de ser el producto de $p(z)$$p(x'z|z)$.

Answer 3

Vamos a tomar el escalar caso, y escribir cuidadosamente las funciones de probabilidad. Deje $A, B \sim N(0,I_p)$, con densidades $p_A(A)$, $p_B(B)$ y considerar la posibilidad de la transformación {$A,B$ } $\to$ {$C,B$ } con $C=A \cdot B $.

A continuación, $p_{B,C}(B,C) = p_{C|B}(C , B) p_B(B)$

El primer factor es, fijo B, una de gauss - pero una gaussiana escala por ese factor. Por lo tanto

$p_{C|B}(C,B) = \frac{1}{B} p_A(\frac{C}{B}) $

y así

$p_{B,C}(B,C) = \frac{1}{B} p_A(\frac{C}{B}) p_B{B}$

no es el producto de dos gaussianas, y la conclusión no se sigue.