Hallar el valor exacto de $t$ que maximiza $\int_{t}^{t+1}\sin e^x \ dx$

Question

El valor exacto es cercano a cero, a juzgar por el gráfico. Por el teorema fundamental del cálculo, $\frac{d}{dt}\int_{t}^{t+1}\sin e^x \ dx=\sin e^{t+1}-\sin e^{t}$. La solución se dará cuando resolvemos para $t$ tal que $\sin e^{t+1}-\sin e^{t}=0$ . Creo que tenemos que jugar con la periodicidad de seno. Así que si $\sin e^{t+1}=k$, $e^{t+1}+2\pi n=k$ y tenemos $e^t=\frac{k-2\pi n}{e}$ pero realmente no puedo trabajar con esto.

Otras consideraciones: el interior de La integral puede ser transformado a $\frac{\sin u}{u}$ al hacer la sustitución de $u=e^x$.

Respuesta: a juzgar por los comentarios creo que podemos hacer:

$ee^t=\pi e^t$ , De modo que $e^t=\frac{\pi}{e+1}$ lo que nos da $t=\ln \frac{\pi}{e+1}$

Answer 1

Deje $f(t) = \int_{t}^{t+1}\sin e^x \ dx$. Como se señaló en los comentarios, $\sin x - \sin y= 2\sin\left(\frac{x-y}2\right)\cos\left(\frac{x+y}2\right)$, lo $$f'(t) = \frac{d}{dt}\int_{t}^{t+1}\sin e^x \ dx = \sin e^{t+1}-\sin e^t = \\ 2\sin\left(\frac{e^{t+1}-e^t}{2}\right)\cos\left(\frac{e^{t+1}+e^t}{2}\right) = 2\sin\left(e^t\cdot\frac{e-1}{2}\right)\cos\left(e^t\cdot\frac{e+1}{2}\right)$$

Por lo $f'(t) = 0$ al $e^t\cdot\frac{e-1}{2}=n\pi$ o $e^t\cdot\frac{e+1}{2}=n\pi+\pi/2$ o $t = \ln\left(\frac{2\pi n}{e-1}\right)$ o $t = \ln\left(\frac{\pi(2n+1)}{e+1}\right)$ cualquier $n$.

Ahora, queremos que el valor más cercano a cero como se señaló, lo que nos da $\ln(\pi/(e+1))$. $f''(t) = e^t(e\cos e^{t+1} - \cos e^t)$, por lo $f'' = \frac{\pi}{e+1}\left(e\cos\left(\pi\cdot\frac{e}{e+1}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{e+1}\right)\right)$. Puede aproximar $e$ $2$ o $3$, pero de cualquier manera $f'' < 0$, por lo que este es un máximo.

Hay algunos más desordenado de álgebra si usted desea probar que este es el máximo absoluto, si así lo desea.