La expectativa de una charla en matemáticas (pasantía)

Question

No sé si puedo hacer esta pregunta aquí, pero voy a tener una oportunidad.

Hice un verano (licenciatura) de la pasantía, y tengo que dar una charla acerca de la $2$ horario de pronto en dos pruebas diferentes de teoremas. Me planeado presentar una áspera comprensión intuitiva de cada prueba y algunos ejemplos.

Pregunta : En general, ¿qué podemos esperar de esta presentación? Me gustaría que compartan sus experiencias e ideas sobre la cuestión.

Gracias!

Answer 1

Aquí está un ejemplo de una de Arnold libros ya que estamos hablando de él en los comentarios). Es a partir de topología algebraica, realmente (aunque el libro estaba en ecuaciones diferenciales y el ejemplo fue simplemente el propósito de ilustrar la importancia y utilidad del estado "espacios"). Es algo que yo jugaba cuando yo era un estudiante - no es un ejemplo que hice para esta Respuesta.

El ejemplo: Imaginemos a dos continuo tridimensional caminos de a a B. Suponga que dos diferentes de cero-dimensional (punto) los vehículos pueden viajar de a a B, cada uno en uno de los dos caminos, de tal manera que un inelástica cable de 2 metros de largo puede ser atado a los dos vehículos y se puede viajar de a a B de tal manera que el cable nunca se rompe. Demostrar que si dos sólidos tridimensionales esférica vehículos de radio de 1 metro de viajes, uno de a a B en una ruta de acceso y el otro de B a a en el otro camino, necesariamente habrá un momento en el que se toquen unos a otros.

Arnold prueba: considerar el "espacio de estado" $[0,1] \times [0,1]$ que representa la posición de la primera, resp. segundo vehículo (en la primera, resp. segunda ruta de acceso) en cualquier momento. El punto dos de sabio vehículos que viajan de a a B se traza un camino continuo de$(0,0)$$(1,1)$. El sólido dos vehículos en la segunda parte de el problema de trazar otro camino continuo, de$(0,1)$$(1,0)$. Ya que estos son continuas las rutas de unirse a las esquinas opuestas de la plaza, que han de cruzarse en algún momento. Esto significa un momento en el que (centros) de los sólidos de los vehículos será exactamente en la misma posición como el punto de sabio vehículos fueron en algún momento durante su viaje. En ese momento la distancia no era más que 2, y este es el final de la historia.

Perfectamente bien, pero el hecho de que los dos caminos en la plaza debe intersectar las necesidades de la prueba. La intuición es, hasta ahora, claro, pero el argumento en el libro no era riguroso. (Ese no era el punto, así que estaba bien - que el punto era solo para ilustrar la utilidad de "estado de los espacios" y lo hizo muy bien.)

Si me estaba dando un discurso en la topología algebraica, me gustaría contar esta historia, y ahora me gustaría llegar a la parte técnica. Me gustaría recordarle a la audiencia que la definición de grupo fundamental, el concepto de "índice" de una ruta de acceso relativa a un punto de no en ese camino, y la homotopy la invariancia de ese índice. Y entonces, ¿cómo que lleva (con un poco más de trabajo) a una rigurosa prueba de la "evidente" el hecho de que dos continuo rutas uniendo las esquinas opuestas del cuadrado debe intersectar.

Este sería muestran de forma simultánea el dominio de los conceptos y técnicas del campo elegido, así como demostrar que el altavoz comprender la importancia de ese campo a la "práctica" de los problemas.