Solucionar $x^2f''(x)+f(x)=0$ verificar mi respuesta

Question

Me gustaría que alguien más revise mi respuesta, me estoy preparando para un examen y vi a esta pregunta, pero la solución no estaba incluido, y el resultado es...un poco desagradable, no Es posible derivar dos veces y comprobar que es de hecho una solución.

Ok, así que la pregunta es resolver el ODE $x^2f''(x)+f(x)=0$, no constante con coeficientes de modo que no hay un método establecido, pero sí tenemos una sugerencia: defina $t=\ln{x}$

Ok, por lo $e^{2t}f''(e^t)+f(e^t)=0$ es lo que queremos resolver. Echemos un vistazo a la función de $g(t)=f(e^t)$:

$g'(t)=e^tf'(e^t)$, e $g''(t)=e^tf'(e^t)+e^{2t}f''(e^t)$

Podemos ver que $g''(t)-g'(t)+g(t)=e^{2t}f''(t)+f(e^t)$.

Así que la solución de $g''(t)-g'(t)+g(t)=0$ es equivalente a resolver nuestra pregunta original.

Utilizando el método de búsqueda de las raíces del polinomio característico, las soluciones se $g_1(t)=e^{\frac{1}{2}t}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)$ $g_2(t)=e^{\frac{1}{2}t}\sin({\frac{\sqrt{3}}{2}t})$

Y la mayoría de la solución general es $g(t)=f(e^t)=c_1e^{\frac{1}{2}t}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+c_2e^{\frac{1}{2}t}\sin({\frac{\sqrt{3}}{2}t}) $

Pero desde nuestra pregunta original fue en el sentido de $x$, no $t$, nuestra respuesta final debe ser $f(x)=c_1e^{\frac{1}{2}\ln x}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}\ln x)+c_2e^{\frac{1}{2}\ln x}\sin({\frac{\sqrt{3}}{2}\ln x})$

Este resultado correcto?

Answer 1

Solución directa de verificación con el Wolfram Alpha parece coincidir

Answer 2

Definir \begin{align} g(x) = \sqrt{x} \sin(r \log(x)) \end{align} Entonces \begin{align} g'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin(r \log(x)) + \sqrt{x}\cos(r\log(x)) \cdot\frac{r}{x} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}}(\sin(r\log(x))+ 2r\cos(r\log(x)) \end{align} La diferenciación de nuevo (nota, que ya sabemos que los derivados de la $\sin(\log(x))$ $\cos(\log(x))$ de los de antes). Nota, que $r=\sqrt{3}$ y después me reemplace $w=r\log(x)$. \begin{align} g''(x)&=\frac{-1}{4\sqrt{x}^3}(\sin(r\log(x))+ 2r\cos(r\log(x)) \\&\quad+\frac{1}{2\sqrt{x}} (\cos(r\log(x))\frac{r}{x}-\sin(\log(x))\frac{2r^2}{x}) \\ &=\frac{1}{4\sqrt{x}^3}( -\sin(w) -2r\cos(w))+2r\cos(w)-4r^2sin(w)) \\&= \frac{-1}{4\sqrt{x}^3}(1+r^2)\sin(w)\\ &=-\frac{1}{\sqrt{x}^3}\sin(\sqrt{3}\log(x)) \\ &= \frac{-1}{x^2}\sqrt{x} \sin(\sqrt{3}\log(x)) \end{align} Ahora, haciendo todo de nuevo para $h(x) = \sqrt{x} \cos(r \log(x))$ probablemente (deja como ejercicio) obtener \begin{align} h''(x) = \frac{-1}{x^2}\sqrt{x} \cos(\sqrt{3} \log(x)) \end{align} Y como se puede ver, \begin{align} y(x) &= c_1 h(x)+c_2g(x) \\ \Rightarrow y''(x) &=c_1h''(x)+c_2g''(x) \\ &=\frac{-1}{x^2}(c_1 h(x)+c_2g(x)) \\ &=\frac{-1}{x^2} y(x) \\ \Leftrightarrow 0&=y''(x)x^2+y(x) \quad \quad \quad \quad \quad \blacksquare \end{align}