Tal vez sea un mal título, pero estoy revisando algunas viejas preguntas preliminares y tengo curiosidad por saber si alguien puede ayudar con esta:
Encuentra una lista de matrices reales, lo más larga posible, tal que:
1) El polinomio característico de cada matriz $p(x) = (x-1)^{5}(x+1)$ .
2) El polinomio mínimo de cada matriz es $m(x) = (x-1)^{2}(x+1)$ .
3) No hay dos matrices en la lista que sean similares entre sí.
¿Algún consejo? ¿Esto lleva a la forma normal de Jordania?
¿Entiendes la distinción entre "polinomio característico" y "polinomio mínimo"? Podemos obtener el polinomio característico restando, por ejemplo, $\lambda$ de cada número de la diagonal principal y luego tomar el determinante que será un polinomio en $\lambda$ el "polinomio característico". Se puede demostrar que toda matriz hace que su polinomio característico sea cero.
Pero, si el polinomio característico tiene factores repetidos (por lo que tiene valores propios repetidos), tenemos puede ser capaz de eliminar algunos de esos factores obteniendo un polinomio de menor grado que la matriz siga haciendo 0. Ese es el "polinomio mínimo". Sí, esto tiene que ver con la "Forma Normal de Jordan". Por ejemplo las matrices $A= \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ y $B= \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ ambos tienen el "polinomio característico" $(3- \lambda)^2$ . Ambas matrices satisfacen ese polinomio: $3I- A= \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ y $3I- B= \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ ambos al cuadrado para dar 0. Pero $3I- A$ es la propia matriz 0 mientras que $3I- B$ no lo es. Es decir, el "polinomio mínimo" para A es $3- \lambda$ mientras que el "polinomio mínimo" para B es $(3- \lambda)^2$ .
Una pista:
Ver Forma normal de Frobenius y invariantes de similitud .
Para cualquier endomorfismo $f$ de un espacio vectorial $E$ de dimensión $n$ sobre un campo $K$ , $E$ puede verse como un módulo finitamente generado sobre el anillo de polinomios $K[X]$ a través de $X\cdot u=f(u)$ . Es un módulo de torsión sobre este anillo.
Como $K[X]$ es un P. I. D., el $K[X]$ -Módulo $E$ por el Teorema fundamental de los módulos sobre P. I. D.s es una suma directa de submódulos cíclicos $\bigoplus_{i=1}^rE_i$ Cada uno de ellos $\;E_i$ isomorfo a $K[X]/(P_i)$ , tal que para todo $i=1,\dots r-1, \enspace P_i\mid P_{i+1}$ .
La secuencia de polinomios $(P_1,\dots, P_r)$ caracteriza el endomorfismo (o su matriz en una base dada) hasta la similitud.
Además, sabemos que $P_r$ es el polinomio mínimo del endomorfismo $f$ y el producto $P_1\dotsm P_r\;$ es su polinomio característico. Por lo tanto, todo lo que hay que hacer es encontrar cuáles son los posibles pasos para ir de $P_r(X)=(X-1)^2(X+1)$ a $P_1$ con las limitaciones mencionadas. Entonces, para cada invariante de similitud, se puede tomar como ejemplo de una clase de similitud la matriz de bloques con cada bloque igual a la matriz compañera de los invariantes.
Estos son $6\times 6$ porque el polinomio característico es un polinomio de sexto grado. Hay dos valores propios: $\lambda=-1$ y $\lambda=1$ . Los bloques de Jordan con valor propio $-1$ deben estar todos ordenados $1$ . Los bloques de Jordan con valor propio $\lambda=1$ debe tener al menos una $2$ bloque, pero no más grande.
Utilice $+$ para denotar los valores propios $1$ y utilizar $-$ para denotar los valores propios $-1$ dejar $[\;\;]$ denotan una agrupación por bloques. $$ \mbox{2 [++] blocks} \\ [++][++][+][-] \\ [++][++][-][-] \\ \mbox{1 [++] block} \\ [++][+][+][+][-] \\ [++][+][+][-][-] \\ [++][+][-][-][-] \\ [++][-][-][-][-] $$
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