¿Es correcta esta solución?

Question

$$\sqrt{x}+y=4\tag{A}$$

$$x+\sqrt{y}=6\tag{B}$$

Restando A de B, tenemos

$$x-y -\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$$

$$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)=2$$

$$(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)=(\sqrt{2})(\sqrt{2})$$

Ahora tenemos,

$$\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{2}\tag{AA}$$

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}-1=\sqrt{2}\tag{BB}$$

Esto nos da,

$$\sqrt{x}=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$$

$$\sqrt{y}=\frac{1}{2}$$

Answer 1

Esa respuesta no funciona, lo cual puedes ver si insertas tus valores en tus ecuaciones originales. Cometiste el error cuando dijiste

$\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{2}$ -- AA

$\sqrt{x}+\sqrt{y}-1=\sqrt{2}$ -- BB

esto no se sigue de la ecuación anterior porque ambos no tienen que ser igual a la raíz cuadrada de 2. Simplemente tienen que multiplicar a 2. Estás tratando de resolver 2 variables con una ecuación en este punto. Pierdes información de las ecuaciones anteriores cuando haces esto, así que tu respuesta final no funcionó. Lo que podrías intentar en su lugar es un método de sustitución, aunque esto termina con algunas ecuaciones muy complicadas.

edit: hasta ahora termino con

$0 = y^2 - 8y + \sqrt y + 10$

Answer 2

Haz una substitución $x= X^2$ y $y=Y^2$, para obtener 2 ecuaciones cuadráticas. Tenemos las condiciones de que $x , y \geq 0$, lo cual también implica que $y\leq 4, x \leq 6$.

Substituye una en la otra y obtendrás $ (6-x^2)^2 = 4-x$.

Resuelve este cuártico (que parece no tener raíces agradables), sujeto a $ 0 \leq x \leq 4$. Obtendrás 2 soluciones. Verifica si funcionan.

Answer 3

La solución proporcionada por Wolfram es la siguiente,