Pueden estas promedio de fórmulas ser expresado como las transformaciones de la media aritmética?

Question

(Vagamente inspirada en esta pregunta.)

Dados tres números de $x,y,z$, su media aritmética es $m_a(x,y,z) = \frac{x+y+z}3$.

Su media geométrica es $m_g(x,y,z) = \sqrt[3]{xyz}$, pero este es el secreto de la media aritmética en el espacio de registro -: $m_g(x,y,z) = \log^{-1}(m_a(\log x,\log y,\log z))$.

También podemos considerar algunos de los "mixtos" significa:

1. $m_{ag}(x,y,z) = \frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}3$.

2. $m_{ga}(x,y,z) = \sqrt[3]{\left(\frac{x+y}2\right)\left(\frac{y+z}2\right)\left(\frac{z+x\vphantom{y}}2\right)}$.

Tengo curiosidad de saber si estos también puede ser expresado como la media aritmética bajo algún tipo de transformación. Es decir, ¿existe una función de $f$ tal que $m_{ag}(x,y,z) = f^{-1}(m_a(f(x),f(y),f(z)))$, y del mismo modo para $m_{ga}$?

Actualización: Siguiendo los enlaces en @Chappers' comentario, resulta que lo que estoy preguntando es si las fórmulas anteriores son cuasi-media aritmética de una.k.una. generalizada $f$-medio.

Answer 1

Münnich et al. (1999, 2000) dar una caracterización completa de los cuasi-media aritmética, que Matkowski y Páles resumir de la siguiente manera:

Deje $n\geq2$ y deje $M:I^n\to I$ [donde $I\subseteq\mathbb R$ denota una no-degenerado intervalo]. A continuación, $M$ $n$- variable cuasi-media aritmética ... para algunos continua estrictamente monótona de la función $f:I\to\mathbb R$ si y sólo si

• $M$ es una continua y simétrica de la función en $I^n$ que es estrictamente creciente en cada una de sus variables;
• $M$ es reflexiva [es decir, $M_n(x,\dots,x)=x$ todos los $x\in I$];
• $M$ es bisymmetric, que es, para todos $x_{i,j}\in I$ ($i,j\in\{1,\dots,n\}$), tenemos $$\begin{align}&M(M(x_{1,1},\dots,x_{1,n}),\dots,M(x_{n,1},\dots,x_{n,n}))\\ {}={}&M(M(x_{1,1},\dots,x_{n,1}),\dots,M(x_{1,n},\dots,x_{n,n})).\end{align}$$

Tomando $x_{i,j}$ a ser dada por la matriz $\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}$, nos encontramos con que ni $m_{ag}$ ni $m_{ga}$ son bisymmetric, por lo que no puede ser cuasi-media aritmética.