Variable Real lema

Question

Alguien puede ayudar con el siguiente lema?

Lema: Vamos a $\theta'(r)\geq0,\theta(r)>0$ $\dfrac{\theta'(r)}{\theta(r)}$ disminución de $r>0$. Entonces $$\frac{\displaystyle\int^r_0\theta'(s)\,ds}{\displaystyle\int^r_0\theta(s)\,ds}$$ está disminuyendo.

Gracias!

Answer 1

Asumiré $\theta(r)$ no se desvanecen en $[0, \infty)$. Ahora, para cada $\displaystyle 0 \leq s < r$, $\displaystyle \frac{\theta'(r)}{\theta(r)} \leq \frac{\theta'(s)}{\theta(s)}$. De la cruz se multiplican y se integran de $0$ $r$conseguir $\displaystyle \theta'(r) \int_0^r \theta(s) ds - \theta(r) \int_0^r \theta'(s)ds \leq 0$. Pero esto significa, $\displaystyle \frac{d}{dr}$ de su cociente de las integrales es $\leq 0$.