Símbolo de Landau y serie taylor

Question

$$\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt x=\frac{1}{2}$$

He visto el cálculo $$\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt x=$$ ... $$=\sqrt x (\sqrt{1+\sqrt{1/x+\sqrt{1/x^3}}}-1)= $$ $$\sqrt x(1+\frac{1}{2}\sqrt{1/x+\sqrt{1/x^3}}+ \color{red}{\mathcal o \left(1/x+\sqrt{1/x^3}\right)}-1)=...$$

La pregunta principal: ¿Ahora no tendría que ser $\mathcal o(\sqrt{1/x+\sqrt{1/x^3}})$ ¿en su lugar? Así que podría escribir $\mathcal o(\sqrt{1/x+\sqrt{1/x^3}})$ o $\mathcal O(1/x+\sqrt{1/x^3})$ ?

¿Hay otras formas de calcular el límite?

Answer 1

Una exageración es aprovechar que para cualquier $x>0$ tenemos que $$ \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}} = \frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}$$ ya que ambos términos son una solución positiva de $y^2=x+y$ . Por otro lado $$ \sqrt{x+\sqrt{x}} \geq \frac{1}{2}+\sqrt{x-\frac{1}{4}} $$ es una desigualdad trivial simplemente elevando al cuadrado ambos lados, por lo que $$ \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}-\frac{1}{2} $$ está acotado entre $\sqrt{x-\frac{1}{4}}-\sqrt{x}$ y $\sqrt{x+\frac{1}{4}}-\sqrt{x}$ y el límite es $\color{red}{\large\frac{1}{2}}$ apretando.

Answer 2

Si se quiere hacer con una expansión asintótica, hay que tener cuidado con el orden de expansión. La escala de comparación serán las potencias de $\sqrt x$ y ampliaremos $\sqrt{1+\sqrt{\dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^3}}}}$ a la orden $2\;$ (es decir, hasta un plazo en $1/x$ ).

• $\sqrt{\dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^3}}}=\dfrac1{\sqrt x}\biggl(\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}} \biggr)=\dfrac1{\sqrt x}\biggl(1+\dfrac1{2\sqrt{x}}+o\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr) \biggr)=\dfrac1{\sqrt x}+\dfrac1{2x}+o\Bigl(\dfrac1x\Bigr)$ para que..:
• $\sqrt{1+\sqrt{\dfrac1x+\sqrt{\dfrac1{x^3}}}}=\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt x}+\dfrac1{2x}+o\Bigl(\dfrac1x\Bigr)}=$

\begin{align*}&=1+\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac1{4x}-\dfrac18\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}+\dfrac1{2x}\Bigr)^2+o\Bigl(\dfrac1x\Bigr)=1+\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac1{4x}-\dfrac1{8x}+o\Bigl(\dfrac1x\Bigr)\\ &=1+\dfrac{1}{2\sqrt x}-\dfrac1{8x}+o\Bigl(\dfrac1x\Bigr) \end{align*} Así, \begin{align*}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{\mathstrut x}&=\sqrt{\mathstrut x} \biggl(\sqrt{1+\sqrt{1/x+\sqrt{1/x^3}}}-1\biggr)=\sqrt{\mathstrut x} \biggl(1+\dfrac{1}{2\sqrt x}-\dfrac1{8x}+o\Bigl(\dfrac1x\Bigr)-1\Biggr)\\&=\frac12-\frac1{8\sqrt x}+o\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr). \end{align*}

Answer 3

Utilizar la fórmula $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ para conseguirlo: $$L=\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt x=\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}.$$ Ahora divide el numerador y el desnumerador con $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ y calcular el límite: $$L=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}{1+\frac{\sqrt{x}}{x}}}+\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+0}{1+0}}+\sqrt{\frac{1}{1+0}}}=\frac{1}{2}$$

Answer 4

$$ \begin{align} \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right) &=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac1x}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1{x^3}}}}+1}\\ &=\frac12 \end{align} $$

Answer 5

Es cierto que $o(1/x + \sqrt{1/x^3})$ es incorrecto allí. Teniendo en cuenta el cálculo que se hace, yo habría esperado $O(1/x + \sqrt{1/x^3})$ para aparecer allí, o $o(\sqrt{1/x + \sqrt{1/x^3}})$ como has dicho. Probablemente sea un error tipográfico.