En un problema de Putnam de 2009

Question

Encuentre todos incluso números naturales $n$ tal que lo siguiente es cierto:

Existe una función no constante $f : \Bbb{R}^2 \longrightarrow \Bbb{Z}_2$ tal que para cualquier regular $n$ -gon $A_1...A_n$ , $f(A_1) + \cdots + f(A_n) =0$ .

NOTE : Esta es la parte no resuelta de ESTE problema. He optado por exponerlo en una pregunta separada, primero para llamar más la atención y segundo porque algunas personas pueden querer poner una recompensa en esta parte.

Answer 1

A continuación se muestran imágenes que demuestran la $n=8$ y avanzar en la $n=10$ caso. Creo que esto está muy cerca de un argumento completo para todos $n$ . En la imagen de la izquierda hay 2 negros $8$ -gones y $4$ verde $8$ -Gones. La mayoría de los puntos son golpeados dos veces. El origen es golpeado 4 veces. Lo que queda son los $4$ vértices de un cuadrado. Así hemos demostrado que la suma sobre los vértices de un cuadrado es cero, por lo que hemos reducido a un caso conocido. Para la segunda imagen, hay 2 negros $10$ -gones y $5$ verde $10$ -gones. Sumando todo se obtiene la suma de los vértices de un $5$ -gon más su centro es cero. Probablemente se puede ir más lejos con esto, pero mi mujer se enfadará conmigo si le dedico más tiempo hoy.

Answer 2

Pista: [Caso especial de 4] Supongamos que $f$ no es constante y, por ejemplo, supongamos que $f(-2,0)\neq f(2,0)$ . A continuación, considere dos cuadrados $(-2,0),(-1,-1),(-1,1),(0,0)$ y también $(2,0),(1,-1),(1,1),(0,0)$ . Ahora la suma del valor de la función sobre los vértices de dos cuadrados debería ser cero. Pero $(0,0)$ aparece dos veces en la suma ( $0$ sur $\mathbb{Z}_2$ ) y también $(1,-1),(-1,-1),(-1,1),(1,1)$ forman un cuadrado y la suma de la función en estos puntos es cero. Por lo tanto, $f(-2,0)= f(2,0)$ que es una contradicción.

No creo que el enfoque actual pueda generalizarse para todos los números pares.

Answer 3

Se trata de demostrar que para $n=6$ no existe tal mapa. Considere la siguiente disposición de puntos:

\begin{matrix} &&a&&b&&c\\&d&&e&&f&&g\\h&&i&&j&&k&&l\\&m&&n&&o&&p\\&&q&&r&&s \end{matrix}

donde cada pequeño triángulo se imagina como equilátero de longitud lateral $1.$ Tome los tres hexágonos centrados en $e,k,n$ junto con el hexágono mayor $dbgprm$ de la longitud lateral $\sqrt{3}$ y sumar las sumas. Como los hexágonos son $abfjid,fglpoj,ijorqm,dbgprm$ y como todas sus sumas han de ser cero mod $2$ obtenemos que $a+l+q+j=0$ ya que cada uno de $a,l,q$ ocurre sólo una vez en los cuatro hexágonos, mientras que $j$ aparece tres veces, y las demás letras aparecen dos veces cada una. Lo que esto significa geométricamente es que, a partir de la suposición de que todos los hexágonos tienen sumas de vértices cero, hemos demostrado:

Dado un triángulo equilátero, la suma de $f$ sobre sus vértices junto con su centro es cero.

Ahora, colocando dos de estos triángulos equiláteros de forma que compartan un lado común, se obtiene un conjunto de cuatro puntos sobre una recta cuya suma es cero, ya que los vértices del lado común se anulan en la suma. Los cuatro puntos restantes consisten en los terceros vértices de los dos triángulos adyacentes y los dos centros de los dos triángulos adyacentes; estos puntos son colineales y están igualmente espaciados.

Pero ahora podemos tomar dos de esas rectas de cuatro y colocar la segunda a partir del segundo punto de la primera, y entonces los tres puntos interiores que tienen en común esas dos rectas de cuatro se cancelarán en esa suma, haciendo que la suma de los puntos primero y quinto de la unión de los dos segmentos tenga suma cero. Puesto que dados dos puntos cualesquiera $P,Q$ del plano este arreglo puede hacerse para llegar a $P+Q=0$ (escalando/rotando adecuadamente la figura), obtenemos todos los puntos del plano en el mismo coset mod $2$ .