$x^2+y^2=z(4z+1)$ soluciones

Question

Para un pequeño proyecto en el que estoy trabajando, tengo el deseo de encontrar las soluciones para $$x^2+y^2=z(4z+1)$$ en números naturales $x,y,z$. Quiero automatizar la búsqueda de soluciones para $z$ hasta un valor máximo igual de eficiente como sea posible, corriendo a través de las $z$ valores de 1 y, a continuación, tratar de encontrar posibles $x$$y$.

Una cosa que he encontrado es que me puede hacer caso omiso de $z \equiv 3,6,7 \mod 8$, como la suma de dos cuadrados, sólo puede ser $\equiv 0,1,2,4,5 \mod 8$. Pero me pregunto qué otros criterios que puede utilizar para excluir $z$ valores. También me pregunto si para determinado$z$, $x$ I puede ignorar, así que yo sólo la comprobación de las $x$ valores que puedan dar una solución.

Answer 1

Para la solución de la ecuación. $$X^2+Y^2=Z(4Z+1)$$

Usted debe utilizar las soluciones de la ecuación. $$k^2+t^2=4s^2+1$$

Usted puede utilizar las soluciones que se registran en el tema. Soluciones integrales de hyperboloid $x^2+y^2-z^2=1$

A continuación, utilizando las soluciones de esta ecuación puede ser sustituido en la fórmula y encontrarnos.

$$X=k^2+4s^2-t^2+(4t+9s)k$$

$$Y=2t^2+8s^2-2k^2+(2k+9s)t$$

$$Z=k^2+t^2+5s^2+2(2t+k)s$$

Answer 2

Los números que son una suma de dos cuadrados son exactamente las de este formulario: $$2^rp_1\ldots p_s m^2$$ donde $r$ $s$ no son números enteros negativos, $m$ es natural y $p_1,\ldots,p_s$ son primos congruentes a $1$ mod $4$ (no necesariamente diferentes).

Desde $z$ $4z+1$ son coprime, el número de $z(4z+1)$ es una suma de dos cuadrados si y sólo si ambas $z$ $4z+1$ son las sumas de cuadrados.

Answer 3

No se la respuesta pero

$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=z\,\left( 4z+1\right)$$

$$x=\frac{2{{s}^{2}}-2{{h}^{2}}-h}{4h+1},\ y=s,\ z=\frac{{{s}^{2}}+{{h}^{2}}}{4h+1}$$