número infinito de polinomios irreducibles en $\mathbb{Z}/2{\mathbb Z}[X]$

Question

Para $A= \mathbb{Z}/2{\mathbb Z}[X]$ anillo de polinomios con coeficiente en el campo $\mathbb{Z}/2{\mathbb Z},$ Necesito demostrar que hay un número infinito de polinomios irreducibles en $A.$

¿Cómo lo demuestro? No he llegado a ninguna conclusión. Pensé en series de polinomios pero como es modulo $2$ no eran adecuados.

¿Alguna indicación?

(Y: ¿alguien tiene un enlace a una web donde pueda elegir los símbolos Latex y ver cómo se escriben? Tenía una, pero la he perdido y no la encuentro en Google)

Answer 1

Una variante de la prueba de Euclides debería funcionar bien. Supongamos que sólo hay un número finito de polinomios irreducibles $p_1,...,p_n$ en $A$ y considerar los factores irreducibles de $\prod_{i=1}^n p_i + 1$ .

Answer 2

Además del método clásico de Euclides, he aquí otro enfoque. Recall que la secuencia de polinomios $\rm\:f_n = (x^n\!-\!1)/(x\!-\!1)\:$ es una secuencia de divisibilidad fuerte, es decir $\rm\:(f_m,f_n) = f_{(m,n)}$ en $\rm\mathbb Z[x].\:$ Por lo tanto, la subsecuencia con índices primos da lugar a una secuencia infinita de polinomios coprimos por pares. Además, la prueba vinculada muestra que el gcd tiene forma lineal (Bezout) $\rm\:(f_m,f_n) = f_{(m,n)}\! = g\, f_m + h\, f_n,\,$ $\rm\, g,h\in\mathbb Z[x],\:$ por lo que dicha coprimalidad persiste mod $2;\,$ En efecto, $\rm\:(p,q)=1\:$ para los primos $\rm\:p\ne q,$ así que $$\rm\,mod\ 2\!:\ \ d\:|\:f_p,f_q\ \Rightarrow\ d\:|\:g\,f_p\!+\!h\,f_q = f_{(p,q)}\! = f_1 = 1.\,$$

Así, para cada primo $\rm\:p,\:$ elegir un factor primo de $\rm\:f_p\:$ produce infinitos polinomios primos mod $2,\,$ ninguno se asocia (siendo coprimo por parejas). Nótese que este argumento funciona de forma bastante general.