El cociente mapa de $q: \mathbb R^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb P^n$ está abierto.

Question

Me gustaría demostrar que el cociente mapa de $q: \mathbb R^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb P^n$ es abierta, donde me estoy planteando $\mathbb P^n$ como el cociente del espacio de $\mathbb R^{n+1} \setminus \{0\}$ en virtud de la equivalencia de la relación de $(x_0, \dots, x_n)\sim (y_0,\dots,y_n)$ si existe un valor distinto de cero número real $\lambda$ tal que $(y_0,\dots,y_n) = \lambda(x_0,\dots, x_n).$

Creo que tengo una prueba, pero me gustaría saber si hay forma más limpia de hacerlo. Sé que esto se puede hacer mediante acciones del grupo, pero quiero evitar eso.

Mi prueba:

Para demostrar que el cociente mapa es abierto, tomamos un conjunto abierto en $\mathbb R^{n+1} \setminus \{0\}$ y demostrar que se asigna a un conjunto abierto en $\mathbb P^n$. Para un conjunto abierto $U$$\mathbb R^{n+1}\setminus \{0\}$, para mostrar que $q(U)$ está abierto, debemos mostrar que $q^{-1}(q(U))$ está abierto en $\mathbb R^{n+1}\setminus \{0\}$.

Deje $x \in q^{-1}(q(U))$. Nos muestran que no existe un conjunto abierto que contiene a $x$ que también se encuentra en $q^{-1}(q(U))$. Desde $x \in q^{-1}(q(U))$, existe un $\lambda \in \mathbb R\setminus \{0\}$ tal que $\lambda x \in U$. Desde $U$ es abierto, existe un $\varepsilon > 0$ tal que $B(\varepsilon,\lambda x) \subseteq U$. Pretendemos que $B(\frac{\varepsilon}{|\lambda|},x)$ es un conjunto abierto que contiene a $x$ que también se encuentra en $q^{-1}(q(U))$. Para mostrar esto, se elige un punto arbitrario $y \in B(\frac{\varepsilon}{|\lambda|},x)$, y muestran que la $y \in q^{-1}(q(U))$. Desde $y \in B(\frac{\varepsilon}{|\lambda|},x)$, sabemos que $\Vert{y - x}\Vert < \frac{\varepsilon}{|\lambda|}$, y por otra parte, $\Vert{\lambda y - \lambda x}\Vert < \varepsilon$, de modo que $\lambda y \in B(\varepsilon,\lambda x)\subseteq U$. Por lo tanto, $q(y) \in q(U)$$y \in q^{-1}(q(U))$, de modo que $x \in B(\frac{\varepsilon}{|\lambda|},x)\subseteq q^{-1}(q(U))$. Esto significa que $q^{-1}(q(U))$ está abierto, y que $q$ es una carta abierta.

Answer 1

Hay una manera más simple prueba.

Es suficiente para probar en una base de $\mathbb R^{n+1}\setminus\{0\}$, el cual puede ser tomado como el conjunto de bolas cuyo radio es menor que la norma de su centro.

Deje $B$ ser una bola. Para mostrar $q(B)$ está abierto, debemos mostrar que $\bigcup q(B)$ está abierto en $\mathbb R^{n+1}\setminus\{0\}$. Pero $$\bigcup q(B)=\{\lambda x\mid x\in B,\lambda\in\mathbb R\setminus\{0\}\}=\bigcup_{\lambda\in\mathbb R\setminus\{0\}}\lambda B,$$ que es sólo una unión de abrir las bolas, por lo que es abierto.

Answer 2

Esta prueba se ve bastante bueno, no hay mucho espacio para hacer más 'limpia'.

Pero una modificación que podría (o no):

Supongamos $x \in q^{-1}(q(U))$. Entonces existe $\lambda \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ tal que $\lambda x \in U$. Deje $m:\mathbb{R}^{n} \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \backslash \{0\}$ denotar la multiplicación por $\lambda$. A continuación, $m$ es continua, y $q \circ m = q$, con lo que conseguimos $x \in m^{-1}(U) \subset q^{-1}(q(U))$, e $m^{-1}(U)$ está abierto.

Answer 3

Muy similar a la de @Alex Zorn: la prueba, este hecho es bastante estándar

Si el grupo topológico $G$ actúa en $X$, entonces el mapa de $X \to X/G$ está abierto. La prueba formal: $q^{-1}(q(U)) = \cup_{g\in G}\,\, g\cdot U$ está abierto.

Para ver el hecho de que la prueba de @user2345215: es útil.