Encontrar todos los pares de $(x,y,z)$, de los números reales, tales que
$$ x + y = \sqrt{z^{2} + 2018} $$ $$ x + z = \sqrt{y^{2} + 2018} $$ $$ y + z = \sqrt{x^{2} + 2018} $$
Un intento : El cuadrado obtenemos $$ (x + y)^{2} = z^{2} + 2018 \implies (x + y)^{2} - z^{2} = 2018 $$ $$ (x + z)^{2} = y^{2} + 2018 \implies (x + z)^{2} - y^{2} = 2018 $$ $$ (y + z)^{2} = x^{2} + 2018 \implies (z + y)^{2} - x^{2} = 2018 $$ lo que también significa $$ (x + y - z)(x + y + z) = 2018 $$ $$ (x + z - y)(x + y + z) = 2018 $$ $$ (z + y - x)(x + y + z) = 2018 $$ así $$ \frac{2018}{x+y-z} = \frac{2018}{x+z-y} = \frac{2018}{y+z-x} $$
$$(x+y-z) = (x+z-y) = (y+z-x)$$ $$y-z = z-y \implies z = y $$ $$x-y= y-x \implies x=y $$ así que mi respuesta es $$(x, y, z), \:\:\: x=y=z $$ pero con los 3 iniciales de ecuaciones, también debemos tener $$ (x+y) = \sqrt{z^{2} + 2018} \implies 4x^{2} = x^{2} + 2018 $$ o $$ x^{2} = 2018/3 $$ así que la solución es $$(x, y, z), \:\:\: x=y=z = \sqrt{2018/3} $$
Es esto suficiente ya? hay mejores técnicas?
