¿Por qué debería $\phi$ ser un $R$ -módulo mapa lineal $M\rightarrow M$ en la siguiente proposición?

Question

Dejemos que $M$ sea una entidad finitamente generada $R$ -módulo, $I\subset R$ un ideal y $\phi: M\rightarrow M$ un $R$ -módulo mapa lineal $\phi(M) \subseteq IM$ . Entonces $\phi$ satisfacer $$\phi^n+a_1\phi^{n-1}+\ldots+a_n=0$$ donde $a_i\in I$ para $1\leq i\leq n$ .

La proposición es de Atiyah/MacDonald, Proposición 2.4, página 21

Leyendo la prueba, entiendo que va como sigue

Dejemos que $\omega_1,\ldots,\omega_n$ ser generadores $M$ . Para cada $\phi(\omega_i)\in IM$ tenemos $a_{ij}\in I$ y así $\phi(\omega_i)=\sum_{j=1}^n a_{ij}\omega_j$ . Podemos entonces escribir $$\sum_{j=1}^n(\delta_{ij}\phi-a_{ij}\omega_j)=0,\ \ \ \ \textrm{with}\ 1\leq i\leq n$$ Donde $\delta_{ij}$ es la función delta de Kronecker. En forma matricial obtenemos $Cx=0$ , donde $C$ es un $n\times n$ matriz s.t. $C_{ij}=\delta_{ij}\phi-a_{ij}$ y $x=(\omega_1,\ldots,\omega_n)^T$ .

Multiplicando $Cx=0$ avec $Adj(C)$ desde la izquierda y sustituir $Adj(C)C=\det(C)E$ obtenemos $\det(C)x=0$ , lo que significa $\det(C)=0$ . Desde $\det(C)$ es el polinomio característico evaluado en $\phi$ obtenemos la ecuación.

Ahora mi problema es que no veo cómo/donde usamos eso $\phi$ debe ser un mapa de $M$ a $M$ y que debería ser un $R$ -¿mapa lineal de módulo? ¿Por qué son necesarias estas condiciones? ¿En qué parte de la prueba debe utilizarse?

Answer 1

Escribir $\delta_{ij}\phi-a_{ij}\omega_j$ no tiene sentido. Seamos más cuidadosos.

Identificar el marco

El mapa $\phi$ es un endomorfismo de $M$ por lo que pertenece a su anillo de endomorfismo $\operatorname{End}_A(M)$ . También los mapas $\bar{a}\colon x\mapsto ax$ , para $a\in A$ pertenecen al anillo de endomorfismo y al subring $S$ de $\operatorname{End}_A(M)$ generado por estos mapas y por $\phi$ es obviamente conmutativo.

El argumento principal

Por cada $i$ podemos escribir $$ \phi(\omega_i)=\sum_{j} a_{ij}\omega_j=\sum_{j} \overline{a_{ij}}(\omega_j) $$ con $a_{ij}\in I$ . Por otro lado, $$ \phi(\omega_i)=\sum_{j}\delta_{ij}\phi(\omega_j) $$ y por lo tanto $$ \sum_j (\delta_{ij}\phi-\overline{a_{ij}})(\omega_j)=0 $$

A continuación, las entradas $\delta_{ij}\phi-\overline{a_{ij}}$ definir una matriz $C$ con entradas en el ring $S$ .

Dicha matriz tiene un adjunto $C'$ que satisface $C'C=\det(C)E$ (donde $E$ es la matriz de identidad).

En particular, $\det(C)\omega_i=0$ para cada $i$ y así $\det(C)$ es un endomorfismo de $M$ que desaparece en todos los generadores de $M$ Esto significa que $\det(C)=0$ .

El resto está claro, porque el determinante es de la forma $\phi^n+\overline{a_{1}}\phi^{n-1}+\dots+\overline{a_{n-1}}\phi+\overline{a_n}$ y, como todos los coeficientes $a_{ij}$ pertenecen a $I$ También $a_1,\dots,a_n\in I$ (aplicación estándar de la expansión de Laplace y la teoría de los polinomios característicos).

Comentario final

Lo que Atiyah y Macdonald denotan por $\phi^n+a_1\phi^{n-1}+\dots+a_n$ es lo mismo que lo que he denotado anteriormente con más precisión con $\phi^n+\overline{a_{1}}\phi^{n-1}+\dots+\overline{a_n}$ . Es bastante común abusar de la notación e "identificar" $a\in A$ con el mapa $\bar{a}\colon x\mapsto ax$ (un endomorfismo de $M$ ).