este módulo y

Question

Si $R$ es un noetherian anillo, a continuación, también se $R[x]$ es un noetherian anillo, es decir, $R[x]$ es noetherian como $R[x]$-módulo. Es $R[x]$ también noetherian como $R$-módulo?

Answer 1

$R[x]\cong \bigoplus_{i=0}^\infty R$ $R$ módulos, por lo que, obviamente, no.

Answer 2

Deje $P_n$ $R$- sub-módulo de $R[x]$ cuyos elementos son todos los polinomios de grado en la mayoría de las $n$.

Entonces usted tiene la cadena infinita $$P_0 \subset P_1 \subset P_2 \subset \cdots$$ con todos los elementos adecuados.

Answer 3

Un noetherian $R$-módulo tiene todos sus submódulos finitely generado – en particular tiene que ser finitely genera como una $R$-módulo. Si $R[x]$ fueron finitely generado, sería generado por un número finito de polinomios como un $R$-módulo, de modo que los polinomios tendría un almacén de grado.

Answer 4

Deje $R$ ser un anillo conmutativo y $X$ indeterminado. A continuación, $R[X]$ es un noetherian $R$-módulo si y sólo si $R$ es el cero del anillo.

Las otras respuestas contienen una prueba (pero no de una declaración) de este hecho.

Edit. En la primera versión, que yo había escrito "$R[X]$ es un noetherian $R$-módulo si y sólo si $R$ no es el cero del anillo". Gracias a quid de haber señalado este error!