Fórmula explícita para el cableado de trenzas

Question

Dada la Artin trenza de grupos en $n$ $m$ hebras $Br_n$$Br_m$, hay cableado de las operaciones de $\circ_k:Br_n\times Br_m\to Br_{n+m-1}$ que tomar una trenza $\beta\in Br_m$ y reemplazar el $k$th filamento de una trenza en $Br_n$$\beta$. Ver la siguiente imagen para la operación $\circ_2\colon Br_4\times Br_2\to Br_5$:

¿Alguien sabe de una descripción explícita de estas operaciones en términos de generadores? Escribirlas en bajos grados, me parece que para ser capaz de trabajar una idea aproximada de cómo deben funcionar, pero parece probable que para mí que alguien ya ha di cuenta de esto?

Answer 1

Convenciones:

• Voy a pensar en trenzas como la ejecución de un "input" (entrada lateral en la parte superior para una "salida" a los lados en la parte inferior.

• Las hebras en $B_n$ puede ser numeradas $1,\dots,n$ en el lado de entrada (parte superior) o del lado de salida (abajo).

• Si $\gamma \in B_n$, entonces voy a escribir $\gamma(k)$ por la acción de la $\gamma$ en la numeración, es decir, si usted toma el $k$th strand en el lado de entrada, y de seguimiento a través, que termina como el $\gamma(k)$th varados en el lado de salida.

• Voy a escribir la multiplicación de la siguiente manera: $\gamma \delta$ $\gamma$ en primer lugar, a continuación,$\delta$, es decir, $\gamma$ en la parte superior de $\delta$.

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A menos que se me interpreta mal la operación, hemos

$$\alpha \circ_k \beta = (i_k \alpha) (D_k^n \beta) = (D_k^n \beta) (i_{\beta(k)} \alpha)$$

donde

• $i_j : Br_n \to Br_{n+m-1}$ es la inclusión en el $j$la barra: $i_j \gamma$ es una copia de $\gamma$ $j-1$ identidad hebras a la izquierda y $n+m-j$ identidad hilos a la derecha,

• $D_k^n$ $n$veces iterar de la "duplicación de la $k$th entrada de línea" del operador.

Así que basta para entender $D_k$. Tenemos $D_k(\gamma \delta) = D_k(\gamma) D_{\gamma(k)} (\delta)$, por lo que será suficiente para describir a $D_k$ en los generadores. Así que vamos a $g_j$ ser positivo en el cruce de la $j$th entrada hebra sobre el $(j+1)$st de entrada de alambre. Entonces

$D_k g_j = \begin{cases} g_{j+1} & k < j \\ g_{j+1}g_j & k=j \\ g_j g_{j+1} & k=j+1 \\ g_j & k > j+1 \end{casos}$

Las mismas fórmulas también funciona si establecemos $g_j$ a ser el negativo que se cruzan en la $j$th strand.

No estoy seguro de si algo bueno sale cuando pones todos juntos...