¿Por qué es $y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_n+\sqrt{\frac{1}{2^{2n}}+y_n^2})$ dando la inversa de a $\pi$?

Question

Un sencillo e interesante recursividad:

$$y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_n+\sqrt{\frac{1}{2^{2n}}+y_n^2})$$

ha estas curiosas soluciones

$$y_1=-\infty,y_{\infty}=\frac{1}{2\pi}$$ $$y_1=-\frac{1}{2},y_{\infty}=\frac{2}{3\pi}$$ $$y_1=0,y_{\infty}=\frac{1}{\pi} $$ $$y_1=\frac{1}{2},y_{\infty}=\frac{2}{\pi}$$

No se puede encontrar en la literatura como tal, y no parece que viene de la AGM, pero sospecho que las integrales elípticas. Todavía no se puede iniciar desde cualquier lugar por algún tiempo. Alguna idea?

Answer 1

La forma cerrada del límite no vienen de la integral elíptica, pero a partir de mitad de ángulo fórmula para la función cotangente. Para ilustrar este resultado, sólo condiser el caso de que $y_1 > 0$.

Considere la posibilidad de la auxiliar de secuencia $a_n = 2^n y_n$, cumple con

$$a_{n+1} = a_n + \sqrt{1 + a_n^2}$$

Si $a_n = \cot(\theta)$ algunos $\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$, luego $$a_{n+1} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \sqrt{1 + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}} = \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\frac{\theta}{2}$$

El uso de este y de la asunción $y_1 > 0$, nos encontramos con la siguiente forma cerrada expresión de $y_{n+1}$.

$$2^{n+1}y_{n+1} = a_{n+1} = \cot\left(\frac{\cot^{-1}(2y_1)}{2^n}\right)$$

Esto lleva a $$y_\infty = \lim_{n\to\infty} y_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \cuna\left(\frac{\cot^{-1}(2y_1)}{2^n}\right) = \frac{1}{2\cot^{-1}(2y_1)}\quad\text{ cuando}\quad y_1 > 0$$