Cada grupo (Z/nZ, +) isomorfo a algunos de los subgrupos de $(Z/mZ)^\times$? Si no, encontrar todos los n para que este no es

Question

Mi progreso en este hasta ahora:

($\mathbb{Z}$/$n\mathbb{Z}$, $+$) es, básicamente, el grupo cíclico $C_n$. Así que la cuestión se reduce a si hay un elemento $x$ orden $n$ cualquier $n$ en el grupo $(\mathbb{Z}$/$m\mathbb{Z})^\times $, porque, a continuación, $\langle x\rangle = (x, x^2, x^3,...,x^{m-1}, e)$ formas un grupo cíclico de orden $m$.

La pregunta también puede ser formulado como un problema de búsqueda de $S$ donde $$S = \{ n : \not\exists a, m \in \mathbb{Z}^+ s.t. a^n \equiv 1\ (mod\ m)\}$$

O como

$$ S = \{ n : n\ \text{is not the order of any number a mod any number m }\}$$

A partir de esto puedo concluir definitivamente que $x \in S\ if\ \forall n\ x \nmid \phi(n) $, debido a el Teorema de Euler, pero supongo que en realidad no nos dan nada.

No estoy seguro de si este es el camino que debe ir sobre el problema, y si es así, no estoy seguro de cómo debo proceder.

Answer 1

Esquema de la prueba:

1) para el primer $p > 2$ $(\Bbb Z/p^k)^*$ es cíclica, es decir de orden $p^{k-1}(p-1)$, obviamente)

2) $(\Bbb Z/2^k)^*$ $\Bbb Z/2$ tiempos cíclicos

(es parte de Gauss raíz primitiva teorema)

3) utilizar el teorema del resto Chino para obtener una descripción general de los $(\Bbb Z/n)^*$