Inexistencia de un homeomorphism entre un conjunto abierto y la unidad de la bola

Question

Deje $U\subset\mathbb{R^n}$ ser un conjunto abierto y $\mathbb{S^n}$ la unidad de la esfera de $\mathbb{R^{n+1}}$($\mathbb{S^n}=\{x\in\mathbb{R^{n+1}}:||x||=1\}$). ¿Cómo puedo demostrar que no hay homeomorphism entre el$U$$\mathbb{S^n}$?

Mi progreso:

Como imagen de conjunto conectado a través de una función continua es conectado y $\mathbb{S^n}$ está conectado, si había homeomorphism, a continuación, $U$ estaría conectado así.

Ahora, con el hecho de que todos conectados abrir conjuntos de $\mathbb{R^n}$ es homeomórficos a $\mathbb{R^n}$, es suficiente para mostrar que no hay homeomorphism entre el$\mathbb{R^n}$$\mathbb{S^n}$.

Sé que para todos los $p\in \mathbb{S^n}$, $\mathbb{S^n}- \{p\}$ es homeomórficos a $\mathbb{R^n}$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Esta es una colección de comentarios en los que se debe responder a su pregunta:

• La herramienta más común para demostrar que abrir conjuntos de diferente dimensión, no puede ser homeomórficos es la invariancia del dominio. Vea la sección sobre las consecuencias.

  Dos conjuntos de colectores de diferentes dimensiones no puede ser homeomórficos. La razón es que si el estudio de la restricción de la homeomorphism a un pequeño conjunto, se obtiene un homeomorphism entre Euclidiana abrir establece a través de coordenadas de los gráficos. (Esta observación sólo tendrá sentido si usted está familiarizado con topológico o suave colectores.)

  Sin embargo, ahora los dos conjuntos tienen la misma dimensión, por lo que este método no funciona.

• En este caso, la esfera es compacto y un conjunto abierto no.
• No todos los conectados conjunto abierto del espacio Euclidiano es homeomórficos a todo el espacio. Por ejemplo, el espacio perforado $\mathbb R^n\setminus\{0\}$ no homeomórficos a $\mathbb R^n$.

Answer 2

Dado que la esfera es compacto y abrir los juegos no, no puede ser un homeomorphism entre ellos, ya que homeomorphisms preservar la compacidad

Answer 3

Los resultados que usted necesita es:

$\bullet$ Imagen de conjunto compacto sobre la función continua es compacto.

$\bullet$ $\mathbb{S^n}$ es compacto.

$\bullet$ Con el estándar de la topología, no Hay (no vacío) conjunto abierto $U\subset \mathbb{R^n}$ que es también compacto (compact en $\mathbb{R^n}$ es equivalente a ser cerrado y acotado, y la única que ningún vacío abierto y conjunto cerrado en $\mathbb{R^n}$ $\mathbb{R^n}$ sí, que es no acotada).

Por el absurdo, supongamos ahora que hay un homeomorphism $f:\mathbb{S^n}\to U$.

Que si se definen $ {f}^*:\mathbb{S^n}\to \mathbb{R^n}$ $f^*(x)=f(x)$ todos los $x\in\mathbb{S^n}$ (sólo hemos ampliado el codominio de $f$), podemos ver que $f^*$ es una función continua y $f^*(\mathbb{S^n})=U$. pero esto significaría que el $U$ es compacto, absurdo, ya $U$ está abierto.