Número de 7 palabras con letras de cada uno compuesto de 3 vocales y 4 consonantes que pueden ser formadas por el uso de las letras de la palabra DIFERENCIACIÓN

Question

Encontrar el número de 7 palabras con letras de cada uno compuesto de 3 vocales y 4 consonantes que pueden ser formadas por el uso de las letras de la palabra DIFERENCIACIÓN.

Las vocales son IIIEEAO. Las consonantes son DFFNNTTR.Las vocales pueden ser seleccionados en $\binom{4}{3}$ formas y las consonantes pueden ser seleccionados en $\binom{5}{4}$ formas y el total de maneras en que se $\binom{4}{3}\binom{5}{4}7!=100800$ maneras, pero la respuesta es 532770. ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

El problema es que se supone que cada vocal y consonante sólo puede ocurrir una vez. Sin embargo, algunas vocales y consonantes aparecen varias veces. Una manera de resolver este problema es la siguiente. En primer lugar, permite seleccionar tres vocales y sus respectivos orden:

1. Tres de los mismos vocales (III): 1
2. Dos vocales (II o EE) y una única vocal: ${2 \choose 1}{3 \choose 1} {3 \choose 2} = 18$
3. Tres únicas vocales: ${4 \choose 3}3! = 24$

Esto se traduce en un total de 43 combinaciones posibles. Segundo, nos deja seleccionar cuatro consonantes y su respectivo orden:

1. Dos veces dos consonantes: ${3 \choose 2}{4 \choose 2} = 18$
2. Dos consonantes y dos únicas consonantes: ${3 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 2}2! = 216$
3. Cuatro únicas consonantes: ${5 \choose 4}4! = 120$

Esto se traduce en un total de 354 combinaciones posibles. La selección de tres posiciones para colocar las vocales, el número total de palabras por lo tanto es igual a:

$$43 \cdot 354 \cdot {7 \choose 3} = 532770$$

Answer 2

Otro enfoque que vale la pena mencionar es el de la exponencial en la generación de funciones (egfs). Deje $x$ enumerar las vocales, $y$ enumerar las consonantes y $z$ enumerar total de cartas. A continuación, el egf factores para las vocales se dividen de la siguiente manera

III

$$1+xz+\frac{1}{2!}(xz)^2+\frac{1}{3!}(xz)^3$$

EE

$$1+xz+\frac{1}{2!}(xz)^2$$

A, O

$$1+xz$$

and consonants:

FF, NN, TT

$$1+yz+\frac{1}{2!}(yz)^2$$

D, R

$$1+yz$$

The product of these is the egf for words

$$\begin{multline}f(x,y,z)=\left(1+xz+\frac{1}{2!}(xz)^2+\frac{1}{3!}(xz)^3\right)\times\\\left(1+xz+\frac{1}{2!}(xz)^2\right)\left(1+\vphantom{\frac{1}{1}}xz\right)^2\left(1+yz+\frac{1}{2!}(yz)^2\right)^3\times\\\left(1+\vphantom{\frac{1}{1}}yz\right)^2\end{multline}$$

and we want the $x^3y^4z^7/7!$ coefficient of $f(x,y,z)$. El uso de la salvia de entrada

y,z=var('y','z')
show(factorial(7)*expand((1+z*x+(z*x)^2/2+(z*x)^3/6)*(1+z*x+(z*x)^2/2)*(1+z*x)^2*(1+z*y+(z*y)^2/2)^3*(1+z*y)^2).coefficient(z^7).coefficient(x^3).coefficient(y^4))

da la respuesta:

$$532\,770\tag{Answer}$$