¿Por qué son estos factores determinantes de la $0$?

Question

Estos $3$ matrices que aparecen a continuación tienen los factores determinantes de la $0$. El aumento de cada elemento por $1$ los resultados en un factor determinante de la $0$:

$$\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&10\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}3&4&5\\6&7&8\\9&10&11\end{bmatrix}$$

También, si me cuadrado cada elemento de la primera matriz el determinante no es $0$,$-216$, pero si puedo seguir este patrón a un $4 \times 4$ matriz el determinante, a continuación, se $0$:

$$\begin{bmatrix}1&4&9\\16&25&36\\49&64&81\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}1&4&9&16\\25&36&49&64\\81&100&121&144\\169&196&225&256\end{bmatrix}$$

Este patrón parece funcionar para matrices con dimensiones de $2$ mayor que lo que los elementos son planteadas a:

$$\begin{bmatrix}1&8&27&64&125\\216&343&512&729&1000\\1331&1728&2197&2744&3375\\4096&4913&5832&6859&8000\\9261&10648&12167&13824&15625\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}1&16&81&256&625&1296\\2401&4096&6561&10000&14641&20736\\28561&38416&50625&65536&83521&104976\\130321&160000&194481&234256&279841&331776\\390625&456976&531441&614656&707281&810000\\923521&1048576&1185921&1336336&1500625&1679616\end{bmatrix}$$

Por favor alguien puede explicar por qué esto es así?

Answer 1

Sus matrices antes de empezar a elevar las entradas a las facultades que tiene la propiedad particular de que hay constantes $a, b, c$ de manera tal que el elemento en la posición $i,j$ tiene el valor de $a+bi+cj$.

(Por su particular $n\times n$ matrices que tienen $a=-n$, $b=n$, $c=1$, pero estos valores precisos no son importantes).

Una típica columna de una de las matrices por el aspecto de $$\begin{pmatrix} k \\ k+b \\ k+2b \\ \vdots \\ k+(n-1)b \end{pmatrix}$$ donde $k$ es diferente para cada columna, mientras que $b$ es siempre la misma.

Al aumentar los elementos de la $(n-2)$th de alimentación, se obtiene columnas de la forma $$\begin{pmatrix} k^{n-2} \\ (k+b)^{n-2} \\ (k+2b)^{n-2} \\ \vdots \\ (k+(n-1)b)^{n-2} \end{pmatrix}$$ Lo que es importante aquí es que cada entrada en la columna es un polinomio en a $k$ grado $n-2$, y el mismo $n$ polinomios de generar todas las columnas de la matriz.

Desde polinomios de grado en la mayoría de las $n-2$ constituyen un verdadero espacio vectorial de dimensión $n-1$, debe haber una relación lineal entre estos polinomios, y esta relación lineal se convierte en una relación lineal entre las filas del elemento-por-elemento exponentiated de la matriz. Por lo tanto la matriz es singular y su determinante es $0$.

Si usted levanta a las $(n-1)$th poder, sin embargo, el espacio vectorial de polinomios tiene dimensión $n$, y ya no hay ninguna razón para esperar que el $n$ polinomios que forman una columna son linealmente dependientes. Esto quita la razón por la que la matriz sería singular, y en general no lo es.

Answer 2

Deje $A,B,C,D$ ser las filas de las matrices. Para los tres primeros se encuentran: $C-2B+A=0$. Para el "cuadrado" matrices de $D-3C+3B-A=0$. Se puede tomar desde aquí?

Answer 3

El avance operador diferencia $\delta:p(x)\mapsto p(x)-p(x+1)$ mapas de cualquier polinomio con grado de $d\geq 1$ a un polinomio con grado de $d-1$. En particular, si aplicamos $\delta^n$ a un polinomio $p(x)$ con grado de $d<n$ obtenemos la constante $0$: $$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k p(x+k) = 0. \tag{1}$$ Consideremos $(1)$$n=3$$p(x)=x^2$. Da $$x^2-3(x+1)^2+3(x+2)^2-(x+3)^2 = 0 \tag{2}$$ por lo tanto $(1,-3,3,-1)^T$ pertenece al núcleo de la aplicación lineal mapa asociado a la $4\times 4$ matriz $M$ tal que $M_{i,j}=(1+4i+j)^2$. En particular,$\det M=0$. Del mismo modo, si $M$ $6\times 6$ matriz tal que $M_{i,j}=(1+6i+j)^4$ tenemos $(1,-5,10,-10,5,-1)^T\in\ker M$$\det M=0$.

Esto es sólo una generalización del hecho de que $$\det\left[\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\right]=0$$ desde el centro de la columna es el promedio de las columnas adyacentes.

Answer 4

Lo que @user es conseguir que en su respuesta es el hecho de que el determinante es una alternancia de multilineal función de las filas o columnas de una matriz. Es decir, podemos pensar determinante como función como esta: $$\det \left( \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{23} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}$$ Y luego si $v_1, v_2, v_3, v_4$ son vectores, y $\lambda$ es el número (escalar) tenemos $$\det(v_1 + v_4, v_2, v_3) = \det (v_1, v_2, v_3) + \det(v_4, v_2, v_3) \\ \det(\lambda v_1, v_2, v_3) = \lambda \det(v_1, v_2, v_3)$$ Podemos hacer esta división en cualquier argumento de la función. Esto es lo que yo quiero decir cuando dijo determinante es "multilineal." Conserva el lineal de las operaciones de + y la multiplicación escalar. Además, hemos $$\det(v_1, v_1, v_2) = \det(v_3, v_2, v_3) = \det(v_1, v_2, v_2) = 0$$ Esto es a lo que me refiero cuando digo que el factor determinante es la "alternancia." Si cualquiera de las dos filas son iguales, entonces $\det = 0$. La combinación de estas dos propiedades, si alguna columna es combinación lineal de las otras columnas, el determinante será igual a cero.

En todas sus matrices, una columna puede escribir como una combinación lineal de las demás, por lo que el determinante es cero.

Answer 5

Vamos

$$\mathrm M := \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$$

cuyo determinante es $0$ y cuya adjunta es la siguiente matriz simétrica

$$\mbox{adj} (\mathrm M) = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -3\\ 6 & -12 & 6\\-3 & 6 & -3\end{bmatrix}$$

en cuyas filas y columnas agregar a cero. El uso de la matriz de determinante lema, para todos los $\gamma \in \mathbb R$

$$\det \left( \mathrm M + \gamma \, 1_3 1_3^\top \right) = \det (\mathrm M) + \gamma 1_3^\top \mbox{adj} (\mathrm M) \, 1_3 = 0 + \gamma \cdot 0 = 0$$