Evaluar la integral de la $\int_{0}^{\frac\pi2}\frac{x}{\sin(x)+6x} \, dx$

Question

Mostrar que $$\int_0^{\pi/2}\frac x {\sin(x)+6x} \, dx =\frac{\pi}{2\sqrt2}\ln \left( \cot \frac \pi 8 \right)$$

Traté de aplicar una relacionada con la teoría de la integral por medio de la sustitución de $x,$ ya que no es 0 en el intervalo inferior, $x=\frac\pi2-x $

$$\int_0^{\pi/2}\frac{\frac\pi2-x}{\sin(\frac\pi2-x)+6(\frac\pi2-x)} \, dx$$

Pero, ¿qué hacer a continuación? Hay una sustitución específica cuando hay un denominador con trigonométricas y algebraica de la función juntos?

Answer 1

Desde $\frac{2}{\pi}x\leq \sin(x)\leq x$ cualquier $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ se sigue que $$ \int_{0}^{\pi/2}\frac{x}{\sin(x)+6x}\,dx \in \left[\frac{\pi}{14},\frac{\pi^2}{12\pi+4}\right]$$ mientras que $\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\log\cot\frac{\pi}{8}$ es de aproximadamente $1$.
Debe haber sido un error desde el lado derecho es aproximadamente cuatro veces mayor que la del lado izquierdo.