La primaria la prueba de una serie que involucra logaritmo

Question

Quiero demostrar que la

$$ \sum_{x=1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} \leq 1$$

en un modo elemental, pero no he encontrado una prueba todavía. Por favor, ¿puedes compartir con nosotros si usted encuentra cualquier elemental de la prueba de la desigualdad?

También, hay algún primaria método para encontrar límites superiores para la serie con logaritmos?

Answer 1

Una forma alternativa es aprovechar creativo telescópica. Uno puede demostrar la desigualdad $$ \forall n\geq 2,\qquad \frac{\log n}{n^2}\leq \frac{\log(n+1)+1}{n}-\frac{\log(n+2)+1}{n+1}\tag{1} $$ y deducir de ella que $$ \sum_{n\geq 1}\frac{\log n}{n^2} \leq \frac{\log 2}{4}+\frac{\log(4)+1}{3} < 1 \tag{2}$$ desde $\log(2)<\frac{8}{11}$. Esto puede ser mostrado a través de $$ 0\leq \int_{0}^{1}\frac{x^3(1-x)^3}{1+x}\,dx = \frac{111}{20}-8\log(2) \tag{3}$$ y $\frac{111}{160}<\frac{8}{11}.$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\int \frac{\ln x}{x^2} \, dx = -\frac{1+ \ln x}{x}+ C$$

Desde $\ln x / x^2$ es la disminución de $x > 2$, tenemos

$$\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^2} &= \frac{\ln 2}{4} + \frac{\ln 3}{9}+\sum_{n=4}^\infty \frac{\ln n}{n^2} \\&< \frac{\ln 2}{4} + \frac{\ln 3}{9}+\int_3^\infty \frac{\ln x}{x^2} \, dx \\&\approx 0.29535 + 0.69954 \\&= 0.99489\end{align}$$

Answer 3

El 4 de plazo y el resto puede ser sustituido por el más pequeño $x^{-2}$, si se suma el área entre las gráficas de $x^{-2}$ $\log (x)x^{-2}$ a partir de un paso anterior en $x=3$.

$$\sum_{x=1}^3\log(x)x^{-2}+\sum_{x=4}^{\infty}x^{-2}+\int_3^{\infty}(\log (x)x^{-2}-x^{-2})dx=\frac{6 \pi ^2-49+16 \log (3)+\log (512)}{36}$$

que es menos de $1$.

Answer 4

Has probado a utilizar una expansión de taylor de ln(x), Luego se divide por x^2. Siempre debe ser 1/x^n para cada término de la expansión.