He aplicado a un Ph D. en Trieste y estoy preparando para los exámenes. Estoy teniendo un problema con el Problema 8 aquí. Aquí está el texto.
Deje $f\in L^1(\mathbb R)$ y deje $F,G:\mathbb R\to\mathbb R$ ser las funciones definidas por:
$$F(x)=\int_x^{x+1}f(t)dt,\qquad\text{and}\qquad G(x)=\left|\int_x^{x+1}f(t)dt\right|.$$
(a) Probar que $G$ tiene un punto máximo en $\mathbb R$.
(b) Dar un ejemplo de $f\in L^1(\mathbb R)$ tal que $F$ no tiene punto máximo en $\mathbb R$.
Ahora, a menos de que estoy equivocado (prueba en la pregunta final), tenemos:
- $F,G$ continua en $\mathbb R$;
- $F,G$ tienden a 0 $|x|\to\infty$.
Con ello, por 2., tanto en $F$ $G$ menos de su sup-normas en $\mathbb R$ siempre $|x|>M$ $M$ suficientemente grande, y por 1. y la compacidad de $[-M,M]$ deben tener un máximo en $[-M,M]$, que luego es un máximo global en $\mathbb R$. Así que (a) se lleva a cabo, y (b)... me está pidiendo que me desmienta el máximo de $F$ las que he probado, así que es imposible! Es mi razonamiento anterior correcta? Son las pruebas que a continuación correcto? O es que hay algo que me falta que es malo en ellos?
Pruebas
$F,G\to0$ $|x|\to\infty$
Escribo $|x|\to\infty$ decir $x\to\infty$ o $x\to-\infty$, así que vamos a hacer $x\to\infty$, e $x\to-\infty$ se demuestra de la misma manera, más o menos. Ahora:
$$|F(x)|\leq\int_x^{x+1}|f(t)|dt\leq\int_x^{+\infty}|f(t)|dt,$$
que tiende a cero para $x\to+\infty$ desde $f\in L^1(\mathbb R)$. Y, por supuesto, $G$ ya está manejado de esta manera.
Para $x\to-\infty$:
$$|F(x)|\leq\int_{-\infty}^{x+1}|f(t)|dt.$$
La continuidad
Podemos reescribir:
$$F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)1_{[x,x+1]}(t)dt,$$
$1_A$ , siendo el indicador de $A$. Supongamos $x\to x_0$. Si $t<x_0$, $t<x$ finalmente, de manera que $f(t)1_{[x,x+1]}(t)=0$ eventualmente, por tanto,$f(t)1_{[x,x+1]}\to0$. Lo mismo ocurre si $t>x_0+1$, mientras que la de $t\in[x_0,x_0+1]$ $t\in[x,x+1]$ eventualmente, de modo que $f(t)1_{[x,x+1]}(t)=f(t)$ eventualmente. Así, por $t\neq x_0$ tenemos $f(t)1_{[x,x+1]}(t)\to f(t)1_{[x_0,x_0+1]}(t)$. Ya que esto deja sólo dos puntos, $x_0$$x_0+1$, la convergencia es pointwise en casi todas partes. Todas estas funciones tienen valores absolutos que es en la mayoría de las $|f(t)|$, así que por la convergencia dominada, tenemos:
$$F(x)=\int_x^{x+1}f(t)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)1_{[x,x+1]}(t)dt\to\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)1_{[x_0,x_0+1]}(t)dt=\int_{x_0}^{x_0+1}f(t)dt=F(x_0),$$
como $x\to x_0$, demostrando $F$ es continua.
$G=|F|$ es la composición de $h(x)=|x|$$F$, y desde $h,F$ son continuos tenemos $G=h\circ F$ es también continua.
