Es la estacionariedad conservados bajo una combinación lineal?

Question

Imaginemos que tenemos dos series de tiempo de los procesos, que son fijos, la producción de: $x_t,y_t$.

Es $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$, $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ también inmóvil?

Cualquier ayuda se agradece.

Yo diría que sí, ya que tiene una maestría de la representación.

Answer 1

Quizás sorprendentemente, esto no es cierto. (La independencia de las dos series de tiempo hará que sea cierto, sin embargo.)

Entiendo que "estable" para significar estacionaria, porque esas palabras parecen ser utilizados indistintamente en millones de resultados de búsqueda, incluyendo al menos uno en nuestro sitio.

Para un contraejemplo, deje $X$ ser un no-constante de tiempo estacionaria de la serie para que todos los $X_t$ es independiente de $X_s$, $s\ne t,$ y cuyas distribuciones marginales son simétricas alrededor de $0$. Definir

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Estos gráficos muestran porciones de las tres series de tiempo discutido en este post. $X$ fue simulado como una serie de independiente se basa en una distribución Normal estándar.

Para mostrar que $Y$ es estacionaria, necesitamos demostrar que la distribución conjunta de $(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$ cualquier $t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$ no depende de $s$. Pero esto se desprende directamente de la simetría y la independencia de la $X_t$.

Estos quedado diagramas de dispersión (para una secuencia de 512 valores de $Y$) ilustrar la afirmación de que la articulación bivariado de las distribuciones de $Y$ son como se esperaba: independiente y simétrica. (Un "quedado diagrama de dispersión" muestra los valores de $Y_{t+s}$ contra $Y_{t}$; los valores de $s=0,1,2$).

Sin embargo, la elección de $\alpha=\beta=1/2$, tenemos

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

incluso para $t$ e lo contrario

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Desde $X$ no es constante, obviamente estas dos expresiones tienen diferentes distribuciones para cualquier $t$$t+1$, de ahí la serie de $(X+Y)/2$ es no estacionaria. Los colores en la primera figura de relieve este no-estacionariedad en $(X+Y)/2$ distinguiendo los valores cero del resto.

Answer 2

Considerar las dos dimensiones del proceso de

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Si es estrictamente estacionario, o alternativamente, si los procesos de $(x_t)$ $(y_t)$ son conjuntamente estrictamente estacionario, luego de un proceso formado por cualquier función medible $f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ también será estrictamente estacionario.

En @whuber el ejemplo que hemos

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Para examinar si esta $w_t$ es estrictamente estacionario, tenemos que obtener primero su distribución de probabilidad. Asumir que las variables son absolutamente continuas. Para algunos $c \in \mathbb R$, tenemos

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Siguiendo con whuber ejemplo, las dos ramas son diferentes distribuciones de probabilidad debido a que $x_t$ tiene una distribución simétrica alrededor de cero.

Ahora a examinar la estacionariedad estricta, cambio en el índice un número entero $k>0$. Tenemos

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Para la estacionariedad estricta, debemos tener

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

Y no tenemos esta igualdad $\forall t,k$, porque, dicen, si $t$ es incluso y $k$ es impar, entonces $t+k$ es impar, en cuyo caso

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c) $$

mientras

$$ \text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Así que no tenemos articulación de la estacionariedad estricta, y entonces no tenemos garantías sobre lo que va a suceder a una función de $f(x_t,y_t)$.

Tengo que señalar que la dependencia entre el$x_t$$y_t$, es necesaria, pero no una condición suficiente para la pérdida de articulación de la estacionariedad estricta. Es la suposición adicional de la dependencia de la $y_t$ en el índice que realiza el trabajo.

Considere la posibilidad de

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Si uno hace el trabajo previo para $(q_t)$ uno encontrará que el conjunto estricto de la estacionariedad tiene aquí.

Esta es una buena noticia, porque para un proceso a depender del índice y ser estrictamente estacionario no se encuentra entre los supuestos utilizados en la modelización tenemos que hacer muy a menudo. En la práctica, por lo tanto, si tenemos marginal estacionariedad estricta, esperamos que también de la articulación estacionariedad estricta, incluso en presencia de dependencia (a pesar de que por supuesto debe de verificación.)

Answer 3

Yo diría que sí, ya que tiene una maestría de la representación.

Una observación. Creo que tener un MA de representación implica la estacionariedad débil, no se si esto implica una fuerte estacionalidad.