Disculpa por la pregunta vaga, pero espero poder hacerlo más claro al considerar algunos ejemplos. También, he añadido la geometría algebraica a las etiquetas, porque voy a tomar mis ejemplos a partir de ahí, pero siéntase libre de cambiar las etiquetas.
Desde un punto de vista formal, una equivalencia entre dos categorías nos dice que las dos categorías son "esencialmente el mismo". Sin embargo, todavía puede ocurrir que dos categorías equivalentes, que provienen de diferentes campos de las matemáticas, tanto con sus propios conjuntos de definiciones o teoremas, que no parecen traducir de uno a otro con bastante facilidad. Aquí hay tres ejemplos en los que se exhiben el mencionado fenómeno en diferentes grados.
La categoría de prevarieties más de un algebraicamente cerrado campo de $k$ es equivalente a la categoría de integral de los esquemas de finito de tipo más de $k$. (Las definiciones son como en Mumford, un Libro Rojo.) En ambas categorías, los objetos están representados por los espacios topológicos con una gavilla. Estos espacios se construyen de manera muy similar (el ex de máxima ideales, y el último desde el primer ideales) y se parecen mucho (siendo este último igual que la anterior pero con algunos puntos ocultos, algunos reducedness). Muchas definiciones, construcciones y pruebas en la categoría anterior acaba de llevar a la última.
La categoría de suaves curvas proyectivas $\mathbb{C}$ es equivalente a la categoría de los compactos de las superficies de Riemann. Existen fuertes similitudes entre las dos categorías. Ambos tienen meromorphic funciones y divisores, ambos tienen formas diferenciales, ambos tienen un Riemann--Roch teorema, y así sucesivamente. A mí me parece (pero que bien puede estar equivocado) de que estas similitudes son más de una heurística de la observación de algo formal. Por ejemplo, no se pueden aplicar los analytification functor para transformar Riemann--Roch para curvas en Riemann--Roch para las superficies de Riemann, digamos transformar una prueba de una en una prueba de la otra.
Para muchos adecuado rodeada de espacios de $(X,\mathcal{O}_X)$, hay una equivalencia entre la categoría de finito de rango localmente libre de poleas en $X$, y la categoría de finitely generado proyectiva $\mathcal{O}_X(X)$-módulos, incluyendo para afín esquemas y suave de los colectores. Los objetos que representan a ambas categorías son de naturaleza muy diferente, y a mí me parece que los conceptos de una categoría no tiene una buena traducción a la otra categoría. (Estúpido ejemplos: ¿Cómo puedo decir que una suave vector paquete de $E$ $M$ tiene fuga de curvatura en términos de $C^\infty(E)$? ¿Cómo decir una proyectiva $A$-módulo es el módulo a través de una matriz de anillo de traducir coherente de las poleas?)
Hay una equivalencia entre la categoría de los conmutativa $C^*$-álgebras y lo opuesto a la categoría de compactos de Hausdorff espacios topológicos. Sin embargo, los objetos que representan las dos categorías son totalmente diferentes. Hay conceptos en una categoría que no se traducen bien a los demás. (Estúpido ejemplos: A que $C^*$-álgebras de hacer colectores corresponden? ¿Cuál es el Teorema Espectral en el contexto de compacto de Hausdorff espacios topológicos?)
Se dice a menudo que la distinción entre lo clásico y lo moderno de la geometría algebraica es artificial, y la equivalencia entre lo clásico variedades y finito de tipo integral de los esquemas de copia de seguridad de esta declaración. Pero nadie diría que la distinción entre el análisis funcional y topología es artificial porque de Gelfand--Naimark. Entonces, ¿cuánto debo seguir pensando en la equivalencia entre las variedades e integral de los esquemas? Exactamente lo feliz que debería ser al demostrar que dos aparentemente diferentes categorías son equivalentes? En resumen:
¿Qué hace una equivalencia de categorías que realmente nos dicen?
